在监督和评估机关岗位责任制的执行情况时，可以采取以下方法：
建立完善的考核机制：可以制定明确的责任目标和指标，对各部门和人员的责任执行情况进行定期考核和评估。考核内容可以包括工作业绩、工作态度、工作效率等方面，以确保责任制得到有效执行。
加强内部监督机制：建立内部监督机制，对各个岗位的责任执行情况进行监督和检查。可以通过定期检查、抽查、督促等方式，及时发现问题并进行纠正。
强化信息公开和问责机制：通过公开透明的信息公开制度，将各部门和个人的责任执行情况向公众公开，引导和监督各方履行责任。同时，建立健全的问责机制，对责任未能执行到位的情况进行问责，推动责任制的有效落实。
建立奖惩激励机制：根据责任执行情况，建立奖惩激励机制，对责任执行好的部门和个人给予奖励，激励其继续努力；对责任未能执行到位的部门和个人进行处罚，推动责任制的有效实施。
案例分析：以某市为例，该市建立了完善的岗位责任制，并采取了上述方法监督和评估责任执行情况。通过定期考核、内部监督、信息公开和问责机制等手段，有效推动了责任制的落实。在实施过程中，发现某部门未能按时完成工作任务，经过问责后，该部门进行了整改，并在下一次考核中取得了显著进步，体现了监督和评估的有效性。