员工离职通知的起草和审批应该由人力资源部门负责。人力资源部门通常负责管理员工的离职流程，包括起草离职通知、与员工进行离职面谈、处理离职手续等工作。在起草离职通知时，人力资源部门需要确保通知的内容准确清晰，包括员工离职日期、离职原因、离职后的福利待遇等信息。审批方面，通常需要由人力资源部门主管或者公司高层领导审批，以确保通知的合法性和准确性。
在实际操作中，建议人力资源部门与相关部门（如法务部门、财务部门）进行沟通协调，以确保离职通知的内容符合公司和法律法规要求。同时，人力资源部门也可以与员工进行沟通，了解员工的离职原因，以改进公司的人才管理策略。
案例：在某公司，一位员工因个人原因决定离职，人力资源部门负责起草离职通知，并与员工进行沟通。经过审批后，员工收到了离职通知，离职流程也顺利进行。这个过程中，人力资源部门的及时沟通和专业操作，帮助公司顺利完成了员工的离职流程。