因为对矩阵做初等行变换，就相当于对齐次线性方程组做同解变换。而方程组同解时，当然它的秩（即方程的个数）就不会变。一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成：（1）用一非零的数乘以某一方程 （2）把一个方程的倍数加到另一个方程 （3）互换两个方程的位置 于是，将变换（1）...

初等变换不改变矩阵的秩，可逆矩阵经过有限次的初等行列变换，可得到单位矩阵，矛盾吗： 例如，这个问题可以这样认为 一次初等变换可逆矩阵必须仍然可逆的，数量有限的初等变换。所有初等行变换，等价于用一个初等矩阵左乘该矩阵。 例如，矩阵A经过3个初等行变换，得到单位矩阵E。

矩阵的秩在进行初等变换后保持不变。行交换变换不会影响矩阵的秩，因为变换后的矩阵B中任一子式通过行重新排列可以视为矩阵A的一个子式，仅可能在符号上有所差异，但是否为零的性质不变。行的倍法变换同样不会改变矩阵的秩。设用k0乘矩阵A的第I行得矩阵C，C矩阵的子式或是A的子式，或是A的相...

不会改变。做初等变换相当于改原矩阵乘以一个可逆矩阵，而乘可逆矩阵是不会改变其秩的。矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系。即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。两个矩阵相等是指：1、两个对应矩阵要求同型（...

由此可得，经过行的消法变换，矩阵的秩不变。列的初等变换：与行的初等变换类似，列的初等变换也不会改变矩阵的秩。因为列的初等变换可以视为对矩阵进行转置后再进行行的初等变换，而转置操作不会改变矩阵的秩。综上所述，初等变换不会改变矩阵的秩，这说明矩阵的秩是反映矩阵固有性质的一个数。

初等变换除了不改变矩阵的秩，其他所有矩阵的特性都改了。不过得到的矩阵跟原来矩阵等价，但是并不是相同。运用反证法也可以证明矩阵经过初等变换之后不是原来的矩阵了。并且任何矩阵都可以经过初等变换变成单位阵，如果等价的话，那所有矩阵不都是单位阵了。所以假设不成立。两个矩阵相等是指：1、两个对应...

秩不变：矩阵经过初等变换后，其秩保持不变。秩是矩阵的一个重要属性，它表示矩阵中最大的非零子式的阶数，或者可以理解为矩阵的行空间或列空间的维数。初等变换不会改变矩阵的行空间或列空间的维数，因此不会改变矩阵的秩。需要注意的是，虽然初等变换不改变矩阵的秩，但它可能会改变矩阵的其他属性，...

经过初等变换后的矩阵不再是原来的矩阵。虽然初等变换不会改变矩阵的秩，但它会改变矩阵的其他特性。因此，尽管变换后的矩阵与原矩阵等价，它们并不相同。可以通过反证法进一步证明这一点。假设经过初等变换后的矩阵仍然是原来的矩阵。那么，任何矩阵都可以通过初等变换变成单位阵。如果等价的话，那么所有矩阵...

矩阵的初等变换是指以下三种变换类型：交换矩阵的两行、以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素、或者把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素。那么矩阵初等变换之后，矩阵的秩是不会改变的。矩阵变换后的行向量(列向量)是原始行向量(列向量)线性组合的结果。如果矩阵秩为N，秩不...

常用的只有秩不变。初等变换行列变换之后矩阵都可以化成标准型，能得到的信息只剩秩，行数，列数。初等变换除了不改变矩阵的秩，其他所有矩阵的特性都改了。不过得到的矩阵跟原来矩阵等价，但是并不是相同。矩阵变换后的行向量(列向量)是原始行向量(列向量)线性组合的结果。如果矩阵秩为N，秩不改变，...