石河子大学 数学

习题 一

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]

=1[0.70.3]=0.6

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

=

14+14+13112=34 9.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A175=（11）=

7）5 （亦可用性求解，下同）

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P（A）=65625

75=(7)

1

 (3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A13）=1P(A1)=1(

57)

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

P(AC214C3182)C3,P(AC3443)735C3

735故 P(A2A3)P(A2)P(A3)2235 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)P(AB)6/86P(A)7/87

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)67 23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BAB)P(AB)PA()PAB()P(AB)P(A)P(B)P(AB) 2

0.70.51

0.70.60.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次

取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}

由全概率公式，有

P(B)P(BAi)P(Ai)

i032321C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C67960.0 33333333C15C15C15C15C15C15C15C1534.甲、乙、丙三人地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被

击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)P(A|Bi)P(Bi)

i03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

习题二

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

3

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X},P{1X},P{1X},P{1X2}.

222【解】

X0,1,2.P(X0)C31322C335.15P(X1)C122C1312 C3.1535C1P(X2)13C31.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 22 1213535 35

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

2235 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

4

x00,22,0x1F(x)35 34,1x2351,x2(3)

P(X12)F(1222)35,P(1X3334342)F(2)F(1)35350P(1X3312

2)P(X1)P(1X2)35P(1X2)F(2)F(1)P(X2)134135350.3.射手向目标地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X0)(0.2)30.008P(X1)C1230.8(0.2)0.096P(X2)C2(0.8)20.20.384

3P(X3)(0.8)30.512 5

故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

0,x00.008,0xF(x)10.104,1x2

0.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X3)0..（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=akk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.

（2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知

1P(Xk)ake

k0k0k!a故 ae

6

(2) 由分布律的性质知

NN1P(Xk)aa k1k1N即 a1.

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

5P(X3)Ckkk5(0.3)(0.7)50.16308

k3(2) 令Y表示7次试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

7P(Y3)Ck7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k318.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.

【解】X~U[2,5]，即

f(x)1,2x5 30,其他P(X3)51233dx3 故所求概率为

7

23202221pC3()C3 3()33327119.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，

5以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E(15)，即其密度函数为

xf(x)1e5,x0 50,x0该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X10)1ex5dxe2105

Y~b(5,e2),即其分布律为

P(Yk)Ck5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.060.120.06

1(2)(2)2[1(2)]0.0456

8

26.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae|x|,λ>0;

bx,0x1,(2) f(x)=1x2,1x2, 0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由

|f(x)dx1知1ae|xdx2aex2a0dx

故 a

2

即密度函数为 f(x)2ex,x0ex2x0当x≤0时F(x)xxxf(x)dx2edx12ex 当x>0时F(x)xxxxf(x)dx02edx02edx

112ex 故其分布函数

9

1x1e,x02F(x)

1ex,x02(2) 由1f(x)dx1bxdx2101x2dxb122 得 b=1

即X的密度函数为

x,0x1f(x)1x2,1x2

0,其他当x≤0时F（x）=0 当0x0xdxx22

当1≤x<2时F(x)xf(x)dx00dx1xdxx101x2dx 312x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

10

0,2x,x00x1F(x)2

31,1x22x1,x229.设P{X=k}=(

12)k

, k=1,2,…,令 Y1,当X取偶数时 1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

(1)2(1)4(1)2k 222

(14)/(1114)3P(Y1)1P(Y1)2330.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

11

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

当y>0时，FY(y)P(Yy)P(exy)P(Xlny)

lnyfX(x)dx

f)dFY(y)dy1故

yf11ln2y/2Y(yx(lny)y2πe,y0(2)P(Y2X211)1

当y≤1时FY(y)P(Yy)0

当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)

Py1X2y12Py1X22  (y1)/2(y1)/2fX(x)dx

故 fd2Y(y)F1Y(y)y1fy1fy1dy4X2X2  12

121(2y12πey1)/4,y1

(3) P(Y0)1

当y≤0时FY(y)P(Yy)0

当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy) yyfX(x)dx

故fdY(y)dyFY(y)fX(y)fX(y) 2y2πe2/2,y0 习题三

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 13

0 0 0 C223C23C313C22C4 735C435 71 0 C13C12C226C23C12C1212C33C12C4 C4 735C42 7357352 P(0黑,2红,2白)= C1C220 3C22C1263C23C22C2412/C735 C435 7C4 735

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae(3x4y)f（x，y）=,x0,y0,0,其他.求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy4y)00Ae-(3xdxdyA121 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)yxf(u,v)dudv

14

yy(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)0012e 0,0,y0,x0, 其他(3) P{0X1,0Y2}

P{0X1,0Y2}

12x4y)30012e(3dxdy(1e)(1e8)0.9499.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=4.8y(2x),0,求边缘概率密度. 【解】fX(x)f(x,y)dy

 =x4.8y(2x)dy202.4x(2x),0x1, 0,0,其他. fY(y)f(x,y)d x1 =y4.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,

0,0,其他. 0x1,0yx,其他.15

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求边缘概率密度. 【解】fX(x)f(x,y)dy

y =dyexxe,x0, 0,0,其他.fY(y)f(x,y)dx

yyx =0edxye,y0,0,0,其他. 题8图 f（x，y）=ey,0,

题9图

0xy,其他.

16

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

【解】fX(x)f(x,y)dy

 xx1dy2x,0x1,

0,其他.

题10图

f（x，y）=1,yx,0x1,0,其他.

题11图

17

fY(y)11dx1y,1y0,y1f(x,y)dx1dx1y,0y1,

y0,其他.所以

ff(x,y)1,|y|x1,Y|X(y|x)f2x X(x)0,其他.11y, yx1, ff(x,y)1X|Y(x|y)f),yx1,

Y(y1y0,其他.12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 X Y P{Xxi} 18

1 112236C3 3C33 10 510C 5105102 0 11223C3 510C3 10 5103 0 0 111 10 C2510P{Yy36 i} 110 10 10 (2) 因P{X1}P{Y3}6101106100110P{X1,Y3}, 故X与Y不

14.设X和Y是两个相互的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1ey/2fY（y）=,y0,

20,其他.（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

【解】（1） 因f1,0x1,1ey2,y1,X(x)0,其他; fY(y)2

0,其他. 19

1y/2故f(x,y)X,Yfe0x1,y0,X(x)fY(y)

20,其他. 题14图

(2) 方程a22XaY0有实根的条件是

(2X)24Y0

故 X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

P{X2Y}f(x,y)dxdy

x2y1dxx21002ey/2dy 12[(1)(0)]

0.1445.26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

20

Y X 1 0 1 a 0 0.2 1 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)0.2，可得

ac0.1.

再由 P{Y0X0}P{X0,Y0}ab0.1P{X0}ab0.50.5,

得 ab0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a0.2,b0.1,c0.1.

(2) Z的可能取值为2，1，0，1，2，

P{Z2}P{X1,Y1}0.2，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1，

21

P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3，

P{Z2}P{X1,Y1}0.1，

即Z的概率分布为

Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)(1)1801211118242; (2) E(X2)(1)21802121218221544;

(3) E(2X3)2E(X)321234

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为

22

X 0 1 2 3 4 5 P C590C50.583 C14233241510C90C10C90C10C90C10C90C1050.340 C50.070 50.007 50 50 100C100100C100C100C100故 E(X)0.58300.34010.07020.0073

0.501, D(X)5[xE(X)]2iPi

i02

(00.501)0.583(10.501)20.340(50.501)200.432.

5.设随机变量X的概率密度为

x,0x1f（x）=,2x,1x2,

0,其他.求E（X），D（X）. 【解】E(X)xf(x)dx1x2dx201x(2x)dx

132 132x3xx031.

1 23

E(X2)x2f(x)dxx3dxx2(2x)dx01127 6故 D(X)E(X2)[E(X)]216. 1184568.

7.设随机变量X，Y相互，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）. 【解】(1) E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.

(2) D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

f（x）=2e2x,x0, f4e4y,y0,X0,x0;Y（y）=0,y0. 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）. 【解】(X)2xxfX(x)dx0x2edx[xe2x]-2x00edx

e2xdx102.

E(Y)y4y1Yf(y)d0yy4ed4y . E(Y2)y2f2Y(y)dy0y24ey4dy4218. 从而(1)E(XY)E(X)E(Y)121344.

24

(2)E(2X3Y)2E(X)3E(Y)211.设随机变量X的概率密度为

221153 288k22xf（x）=cxe,x0,0,x0.求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由

22cf(x)dxcxekx0dx2k21得c2k2. (2) E(X)222xf(x)d(x)0x2kxekxdx

2k22x2π0x2ekdx2k. (3) E(X2)x2f(x)d(x)x22k2xek2x210k2. 2故 D(X)E(X2)[E(X)]21π4πk22k4k2. 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】Cov(3X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y) 3210(1)8328

(因常数与任一随机变量，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

25

17.设随机变量（X，Y）的分布律为

Y 1 X 1 0 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互的.

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

26

X P

Y P

XY 1 0 1 3 81 2 80 3 81 3 81 2 80 3 81 P 2428 8 8 27

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X1}P{Y1}383818P{X1,Y1} 从而X与Y不是相互的.

从而fx)x,y)dy1X(f(1x2dy2x.

因此

E(X)1xf1232110X(x)dx02xdx2,E(X)02x3dx2,D(X)E(X2)[E(X)]21412918.

同理可得 E(Y)32,D(Y)118. E(XY)2xydxdy21xdx15G01xydy12, Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)54129136, 28

于是 概率论与数理统计习题及答案

习题 一

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]

=1[0.70.3]=0.6

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

=

11114+4+312=34 9.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A11）=

15 75=（ 7）（亦可用性求解，下同） （2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P（A6562）=5

75=(7)

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

29

 P（A3）=1P(A11)=1(

57)

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

P(AC2C1318P(AC3442)4C335,3)7C3

735故 P(A2A3)P(A2)P(A3)2235 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)P(AB)6/86P(A)7/87

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)67 23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BAB)P(AB)PA()PAB()P(AB)P(A)P(B)P(AB) 0.70.50.70.60.514

30

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次

取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}

由全概率公式，有

P(B)P(BAi)P(Ai)

i032321C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C67960.0 33333333C15C15C15C15C15C15C15C1534.甲、乙、丙三人地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被

击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)P(A|Bi)P(Bi)

i03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

习题二

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

31

133P{X},P{1X},P{1X},P{1X2}.

222【解】

X0,1,2.3P(X0)C1322C3.15352P(X1)C12C1312

C335.15P(X2)C113C31.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 2212135 35 35

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

2235 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

32

x00,22,0x1F(x)35 34,1x2351,x2(3)

P(X12)F(1222)35,P(1X3334342)F(2)F(1)35350P(1X3312

2)P(X1)P(1X2)35P(1X2)F(2)F(1)P(X2)134135350.3.射手向目标地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X0)(0.2)30.008P(X1)C1230.8(0.2)0.096P(X2)C2(0.8)20.20.384

3P(X3)(0.8)30.512 33

故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

0,x00.008,0xF(x)10.104,1x2

0.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X3)0..（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=akk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.

（2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知

1P(Xk)ake

k0k0k!a故 ae

34

(2) 由分布律的性质知

NN1P(Xk)aa k1k1N即 a1.

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

5P(X3)Ckkk5(0.3)(0.7)50.16308

k3(2) 令Y表示7次试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

7P(Y3)Ck7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k318.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.

【解】X~U[2,5]，即

f(x)1,2x5 30,其他P(X3)51233dx3 故所求概率为

35

23202221pC3()C3 3()33327119.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，

5以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E(15)，即其密度函数为

xf(x)1e5,x0 50,x0该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X10)1ex5dxe2105

Y~b(5,e2),即其分布律为

P(Yk)Ck5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.5167

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.060.120.06

1(2)(2)2[1(2)]0.0456

36

26.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae|x|,λ>0;

bx,0x1,(2) f(x)=1x2,1x2, 0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由

|f(x)dx1知1ae|xdx2aex2a0dx

故 a

2

即密度函数为 f(x)2ex,x0ex2x0当x≤0时F(x)xxxf(x)dx2edx12ex 当x>0时F(x)xxxxf(x)dx02edx02edx

112ex 故其分布函数

37

1x1e,x02F(x)

1ex,x02(2) 由1f(x)dx1bxdx2101x2dxb122 得 b=1

即X的密度函数为

x,0x1f(x)1x2,1x2

0,其他当x≤0时F（x）=0 当0x0xdxx22

当1≤x<2时F(x)xf(x)dx00dx1xdxx101x2dx 312x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

38

0,2x,x00x1F(x)2

31,1x22x1,x229.设P{X=k}=(

12)k

, k=1,2,…,令 Y1,当X取偶数时 1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

(1)2(1)4(1)2k 222

(14)/(1114)3P(Y1)1P(Y1)2330.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

39

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

当y>0时，FY(y)P(Yy)P(exy)P(Xlny)

lnyfX(x)dx

f)dFY(y)dy1故

yf11ln2y/2Y(yx(lny)y2πe,y0(2)P(Y2X211)1

当y≤1时FY(y)P(Yy)0

当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)

Py1X2y12Py1X22  (y1)/2(y1)/2fX(x)dx

故 fd2Y(y)F1Y(y)y1fy1fy1dy4X2X2  40

121(2y12πey1)/4,y1

(3) P(Y0)1

当y≤0时FY(y)P(Yy)0

当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy) yyfX(x)dx

故fdY(y)dyFY(y)fX(y)fX(y) 2y2πe2/2,y0 习题三

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X 0 1 2 3 Y 41

0 0 0 C223C23C313C22C4 735C435 71 0 C13C12C226C23C12C1212C33C12C4 C4 735C42 7357352 P(0黑,2红,2白)= C1C220 3C22C1263C23C22C2412/C735 C435 7C4 735

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae(3x4y)f（x，y）=,x0,y0,0,其他.求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy4y)00Ae-(3xdxdyA121 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)yxf(u,v)dudv

42

yy(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)0012e 0,0,y0,x0, 其他(3) P{0X1,0Y2}

P{0X1,0Y2}

12x4y)30012e(3dxdy(1e)(1e8)0.9499.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=4.8y(2x),0,求边缘概率密度. 【解】fX(x)f(x,y)dy

 =x4.8y(2x)dy202.4x(2x),0x1, 0,0,其他. fY(y)f(x,y)d x1 =y4.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,

0,0,其他. 0x1,0yx,其他.43

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求边缘概率密度. 【解】fX(x)f(x,y)dy

y =dyexxe,x0, 0,0,其他.fY(y)f(x,y)dx

yyx =0edxye,y0,0,0,其他. 题8图 f（x，y）=ey,0,

题9图

0xy,其他.

44

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

【解】fX(x)f(x,y)dy

 xx1dy2x,0x1,

0,其他.

题10图

f（x，y）=1,yx,0x1,0,其他.

题11图

45

fY(y)11dx1y,1y0,y1f(x,y)dx1dx1y,0y1,

y0,其他.所以

ff(x,y)1,|y|x1,Y|X(y|x)f2x X(x)0,其他.11y, yx1, ff(x,y)1X|Y(x|y)f),yx1,

Y(y1y0,其他.12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 X Y P{Xxi} 46

1 112236C3 3C33 10 510C 5105102 0 11223C3 510C3 10 5103 0 0 111 10 C2510P{Yy36 i} 110 10 10 (2) 因P{X1}P{Y3}6101106100110P{X1,Y3}, 故X与Y不

14.设X和Y是两个相互的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1ey/2fY（y）=,y0,

20,其他.（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

【解】（1） 因f1,0x1,1ey2,y1,X(x)0,其他; fY(y)2

0,其他. 47

1y/2故f(x,y)X,Yfe0x1,y0,X(x)fY(y)

20,其他. 题14图

(2) 方程a22XaY0有实根的条件是

(2X)24Y0

故 X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

P{X2Y}f(x,y)dxdy

x2y1dxx21002ey/2dy 12[(1)(0)]

0.1445.26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

48

Y X 1 0 1 a 0 0.2 1 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)0.2，可得

ac0.1.

再由 P{Y0X0}P{X0,Y0}ab0.1P{X0}ab0.50.5,

得 ab0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a0.2,b0.1,c0.1.

(2) Z的可能取值为2，1，0，1，2，

P{Z2}P{X1,Y1}0.2，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1，

49

P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3，

P{Z2}P{X1,Y1}0.1，

即Z的概率分布为

Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)(1)1801211118242; (2) E(X2)(1)21802121218221544;

(3) E(2X3)2E(X)321234

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为

50

X 0 1 2 3 4 5 P C590C50.583 C14233241510C90C10C90C10C90C10C90C1050.340 C50.070 50.007 50 50 100C100100C100C100C100故 E(X)0.58300.34010.07020.0073

0.501, D(X)5[xE(X)]2iPi

i02

(00.501)0.583(10.501)20.340(50.501)200.432.

5.设随机变量X的概率密度为

x,0x1f（x）=,2x,1x2,

0,其他.求E（X），D（X）. 【解】E(X)xf(x)dx1x2dx201x(2x)dx

132 132x3xx031.

1 51

E(X2)x2f(x)dxx3dxx2(2x)dx01127 6故 D(X)E(X2)[E(X)]216. 1184568.

7.设随机变量X，Y相互，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）. 【解】(1) E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.

(2) D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

f（x）=2e2x,x0, f4e4y,y0,X0,x0;Y（y）=0,y0. 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）. 【解】(X)2xxfX(x)dx0x2edx[xe2x]-2x00edx

e2xdx102.

E(Y)y4y1Yf(y)d0yy4ed4y . E(Y2)y2f2Y(y)dy0y24ey4dy4218. 从而(1)E(XY)E(X)E(Y)121344.

52

(2)E(2X3Y)2E(X)3E(Y)211.设随机变量X的概率密度为

221153 288k22xf（x）=cxe,x0,0,x0.求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由

22cf(x)dxcxekx0dx2k21得c2k2. (2) E(X)222xf(x)d(x)0x2kxekxdx

2k22x2π0x2ekdx2k. (3) E(X2)x2f(x)d(x)x22k2xek2x210k2. 2故 D(X)E(X2)[E(X)]21π4πk22k4k2. 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】Cov(3X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y) 3210(1)8328

(因常数与任一随机变量，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

53

17.设随机变量（X，Y）的分布律为

Y 1 X 1 0 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互的.

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

54

X P

Y P

XY 1 0 1 3 81 2 80 3 81 3 81 2 80 3 81 P 2428 8 8 55

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X1}P{Y1}383818P{X1,Y1} 从而X与Y不是相互的.

从而ff(x,y)dy1X(x)1x2dy2x.

因此

E(X)110xf311X(x)dx02x2dx2,E(X2)02x3dx2,

D(X)E(X2)[E(X)]21412918.

同理可得 E(Y)312,D(Y)18.

E(XY)2xydxdy21xdx1G01xydy512, Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)51249136, 于是 D(U)D(XY)118118236118.56