考研数学三真题及答案详细解析word版

第三部分：数三真题及答案解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

（A）xo(x)o(x) （B）o(x)o(x)o(x)

2323（C）o(x)o(x)o(x) （D）o(x)o(x)o(x)

22222【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当x0时f(x)xo(x2)2x3o(x),g(x)x3o(x2)，但f(x)g(x)o(x)而不是

故应该选（D）．

x1x2．函数f(x)x(x1)lnx的可去间断点的个数为（ ） （D）3

【详解】当xlnx0时，xlimf(x)limx0x0x（A）0 （B）1 （C）2

1exlnx1~xlnx，

x1x(x1)lnxxlimx0xlnxxlnx1，所以x0是函数f(x)的可

去间断点．

limf(x)limx1x1x1x(x1)lnxxlimx0xlnx2xlnx12，所以x1是函数f(x)的

可去间断点．

x1limf(x)limx1x(x1)lnxxx1limxlnx(x1)lnxx1，所以所以x1不

是函数f(x)的可去间断点． 故应该选（C）． ３．设D是圆域D(x,y)|xkkDk2y21的第k象限的部分，

记I(yx)dxdy，则（ ）

（A）I（D）I410 （B）I20 （C）I30

0

k【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

1Ik(yx)dxdy2d(sincos)rdrk21(sinsin)d0(k1)32Dk212k1sincos|3k2k12

所以I1I30,I222,I433，应该选（B）．

４．设a为正项数列，则下列选择项正确的是

n（ ） （A）若anan1，则(1)n1n1an收敛；

n（B）若(1)n1nn1n1an收敛，则aan1；

pnn（C）若a收敛．则存在常数P1，使limna存在； （D）若存在常数P1，使limna存在，则a收敛．

pnnnn1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级

nn数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．

５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

【详解】把矩阵A，C列分块如下：

A1,2,,n,C1,2,,n，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知

C的列向量

ibi11bi22binn(i1,2,,n)，得到矩阵

组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即ACB，同理可知矩阵A的列向量组可

1用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）． 6．矩阵是

（A）a0,b2 （B）a0，b为任意常数

（C）a2,b0 （D）a2，b为任意常数 【详解】注意矩阵A=

1a1aba1a12000b00001a1aba1a12000b0000与矩阵

相似的充分必要条件

是对角矩阵，所以矩阵

与矩阵

2000b0000相似的充分必要条件是两

个矩阵的特征值对应相等．

1EAa1a1a(2(b2)2b2a2)1ba2b

从而可知2b2a择（B）． 7．设

2，即a0，b为任意常数，故选是随机变量，且，PP2XiiX1,X2,X3X1~N(0,1),X2~N(0,22),X3~N(5,32)1232，则

（A）PPP （B）PPP

213（C）PPP （D）PPP

321132~N(0,1) 【详解】若X~N(,)，则X2P12(2)1，P2XP2X22P1212(1)12，

25X352577P3P2X32P(1)1)33333，

7P3P213(1)23(1)03．

故选择（A）．

8．设随机变量X和Y相互，且X和Y的概率分布分别为

X P

Y P -1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3P 1/8 则PXY2（ ）

1（A）12 （B）1 （C）816 （D）1 2详

解

】

【

PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y111111224246，故选择（C）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．设曲线yf(x)和yxnlimnfnn22x在点1,0处有切线，则

．

【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以

2f1f(1)nn2limnflim2f'(1)2nn2n2n2n22n

10．设函数zzx,y是由方程zyz|(1,2)xxxy确定，则

．

【详解】 设

Fx,y,z(zy)xxy，， ．

则

Fxx,y,z(zy)xln(zy)y,Fz(x,y,z)x(zy)x1z|当x1,y2时，z0，所以x(1,2)22ln211．1lnxdx(1x)2 ．

【详解】

1lnx1lnx1xdxlnxd|dxln|1ln212111x1xx(1x)x1(1x)

12．微分方程为 ．

yy1y04的通解

【详解】方程的特征方程为根分别为

12r104，两个特征

11122，所以方程通解为y(CC2x)ex2，

其中C,C为任意常数．

13．设Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，A为

ijij元素a的代数余子式，且满足Aijijaij0(i,j1,2,3)，则

A= ．

ij【详解】由条件AA**T31aij0(i,j1,2,3)可知AA*T0，其中

为A的伴随矩阵，从而可知

A*AAA，所以A可能为1或0．

n,r(A)nr(A*)1,r(A)n10,r(A)n1但由结论

可知，AA*T0可知r(A)r(A*),

伴随矩阵的秩只能为3，所以A1.

14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则

EXe2X ．

【详解】 EXe2Xxe2x12ex22dxx2e(x2)222dxe222(x22)e(x2)22dx ．

2tte22tedt2edte2E(X)2e22e2222所以为2e．

三、解答题

15．（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常

n数a,n．

【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当

x0时，

cosx112xo(x2)2，，

1cos2x1(2x)2o(x2)12x2o(x2)219cos3x1(3x)2o(x2)1x2o(x2)22，

以

所

1cosxcos2xcos3x1(1129xo(x2))(12x2o(x2))(1x2o(x2))7x2o(x2)22，

由于1cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，所以

na7,n2．

316．（本题满分10分） 设D是由曲线yxyx，直线xa(a0)及x轴所转成的

Vy平面图形，V,V分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V【详解】由微元法可知

Vxydx0a2a0x，求a的值．

3xdxa35235；

Vy2xf(x)dx20aa06xdxa37437；

由条件10VxVy，知a77．

17．（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求

2xdxdyD．

【详解】

xdxdyxdxdyxdxdyxdxxdyxdxxdyDD1D20323222223x628x4163．

18．（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本

Q,（P是单价，为20元/件，价格函数为P601000单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：

（1）该的边际利润．

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P． 【详解】

（1）设利润为y，则

Q. 边际利润为y'40500Q2yPQ(600020Q)40Q60001000，

（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．

2000040. （3）令y'0，得Q20000,P601000019．（本题满分10分）

设函数fx在[0,)上可导，f00，且limf(x)2，证

x明

（1）存在a0，使得fa1;

（2）对（1）中的a，存在(0,a)，使得f'()1． a【详解】 证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX时，

x5f(x)， 有322又由于fx在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;

（2）函数fx在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理， 存在(0,a)，使得f'()f(a)f(0)1aa．

20．（本题满分11分）

1设A1a01,B01b，问当a,b为何值时，存在矩阵C，

使得ACCAB，并求出所有矩阵C． 【详解】

显然由ACCAB可知，如果C存在，则必须是2

x阶的方阵．设Cx13x2x4，

ax1x2ax4011bx2ax3则ACCAB变形为

x2ax3xxx134，

即得到线性方程组

x2ax30axxax1124x1x3x41x2ax3b，要使C存在，此

线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下

001aa10aA|b101101a0011010b001111a000001a000b，

所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得ACCAB． 此时，

10A|b000111100000001000，

所以方程组的通解为

x1111x0120xC1C2x010301x04，也就是

满足ACCAB的矩阵C为

1C1C2CC1C1C2，其中C,C为任意常数．

12

21．（本题满分11分） 设二次型f(x,x,x)2(axax1231122a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2．记

a1b1a2,b2ab33．

T（1）证明二次型f对应的矩阵为 2换下的标准形为 2y212y2T；

（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变

．

【详解】证明：（1）

f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2a1x1b1x12x1,x2,x3a2a1,a2,a3x2x1,x2,x3b2b1,b2,b3x2axbx3333x1Tx1,x2,x32x2x1,x2,x3Tx3x1x2x3

x1x1,x2,x32TTx2x3所以二次型f对应的矩阵为 2证明（2）设A2则A2特征值1TTTT．

TT2，由于1,0

T2T2，所以为矩阵对应

2的特征向量；

2A2TT2T，所以为矩阵对应特

，所以

征值21的特征向量；

T而矩阵A的秩r(A)r(2T)r(2T)r(T)230也是矩阵的一个特征值．

故f在正交变换下的标准形为 2y22．（本题满分11分）

212y2．

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为

3x2,0x1fX(x)0,其他，在给定Xx(0x1)的条件下，Y的

3y2,0yx,fY(y/x)x3X0,其他条件概率密度为．

（1）求X,Y的联合概率密度fx,y； （2）Y的的边缘概率密度fY(y)．

【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y：

9y2,0x1,0yxfx,yfY(y/x)fX(x)xX0,其他

（2）Y的的边缘概率密度fY(y)：

19y2dx9y2lny,0y1yfY(y)f(x,y)dxx0,其他23．（本题满分11分） 设总体X的概率密度为

23ex,x0f(x;)x0,其他12，其中为

为未知参数且大于零，XX单随机样本．

（1）求的矩估计量；

,Xn为来自总体X的简

（2）求的极大似然估计量．

【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）

E(X)xf(x)dx02x2exdx，

1nXXi令

1nE(X)XXi，得的矩估计量．

nn1（2）当xi0(i1,2,n)时，似然函数为

nL()2xi3e2nn1i1xi，i1xinex3ii1取对数，)2nlnnlnL(1n，

i1xi3lnxii1令

dlnL()2nnd0，得1i1x0，

i解得的极大似然估计量为2nn1．i1Xi

ni1