2022-2023学年广东省深圳市龙岗区九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y点B，则k的值为

k

(x>0)的图象经过顶x

A．12

2．如图，抛物线yB．20 C．24 D．32

12x4与x轴交于A、B两点，点P在一次函数yx6的图像上，Q是线段PA的中点，4连结OQ，则线段OQ的最小值是（ ）

A．

2 2B．1 C．2 D．2

3．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，B60，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿BC方向运动至C点停止，同时P点也停止运动若点P，Q同时出发运动了t秒，记

BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）

A． B． C．

D．

24．如图，若二次函数yaxbxca0的图象的对称轴是直线x1，则下列四个结论中，错误的是（ ）．

A．abc0 B．4ac2b C．3b2c0 D．abc0

5．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax24xc0有实数解的概率为（ ） A．

1 4B．

1 3C．

1 2D．

2 36．从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（ ） A．

1 43B．

8C．

1 2D．

3 47．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（ ）

A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5

8．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）

A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000

10．下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似； ②两个等腰三角形一定相似；

③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；

④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

11．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ） A．13

B．11

C．11 或1

D．12或1

12．如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ） A．4:9

B．2:3

C．3:2

D．9:4

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）

14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

15．如下图，圆柱形排水管水平放置，已知截面中有水部分最深为5cm，排水管的截面半径为10cm，则水面宽AB是__________cm．

16．如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD5，BD2，则AC_________；

17．方程x（x﹣5）＝0的根是_____． 18．计算：38﹣(3﹣π)0+(三、解答题（共78分）

19．（8分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶

1﹣1

)＝_____． 2C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为顶C处，则小明的行走速度是多少？

2米/秒．若小明与小军同时到达山220．（8分）已知：△ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B (1) 如图1，若AB＝AC，求证：

CEBD； CDAC(2) 如图2，若AD＝AE，求证：

CEBD； CDAE(3) 在(2)的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，tan∠BAD＝

1，则AB＝____________． 2

21．（8分）1解方程：x22x30.

2如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A1,1,B2,3,C4,2.以点A1,1为位似中心画出

ABC的位似图形△AB1C1，使得△AB1C1与ABC的位似比为2:1，并写出点B1,C1的坐标.

22．（10分）武汉市某中学进行九年级理化实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小孟、小柯、小刘都要参加本次考查． （1）用列表或画树状图的方法求小孟、小柯都参加实验A考查的概率； （2）他们三人中至少有两人参加实验B的概率 （直接写出结果）． 23．（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．

1每轮传染中平均一个人传染了几个人？

2按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？

24．（10分）如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135.

(1)求证：△PAB∽△PBC； (2)求证：PA2PC.

25．（12分）若二次函数y=ax2

+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣26．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝1． （1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根； （2）当m34时，求方程的正根． 参

一、选择题（每题4分，共48分） 1、D

【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4. ∴根据勾股定理，得：OC=5.

2），求此二次函数解析式． ∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）. ∵点B在反比例函数∴故选D. 2、A

.

(x>0)的图象上，

6m，根据之间的距离公式列出PB2关于m的函数关系式，求得其最【分析】先求得A、B两点的坐标，设Pm，小值，即可求得答案. 【详解】令y0，则解得：x4，

12x40， 40、B4，0， ∴A、B两点的坐标分别为：A4，6m， 设点P的坐标为m，∴PB2m46m2m220m522(m5)22， ∵20，

∴当m5时，PB2有最小值为：2，即PB有最小值为：2， ∵A、B为抛物线的对称点，对称轴为y轴， ∴O为线段AB中点，且Q为AP中点， ∴OQ2212． PB22故选：A． 【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得PB2的最小值是解题的关键. 3、D

【分析】用含t的代数式表示出BP，BQ的长，根据三角形的面积公式就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：由题意得 BP=4-t，BQ=2t，

∴S=

1332×2t××t+23t， （4-t）=-2223×4+23×2=23. 2∴当x=2时，S=-

∴选项D的图形符合． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 4、C

【分析】根据对称轴是直线x1得出b2a，观察图象得出a0，c0，进而可判断选项A，根据x1时，y值的大小与b2a可判断选项C、D，根据x2时，y值的大小可判断选项B． 【详解】由题意知，b1，即b2a， 2a由图象可知，a0，c0， ∴b0，

∴abc0，选项A正确；

当x1时，yabc0，选项D正确； ∵b2a，

∴2a2b2c3b2c0，选项C错误； 当x2时，y4a2bc0，选项B正确； 故选C． 【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数a，b，c的关系，学会取特殊点的方法是解本题的关键． 5、C

【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可. 【详解】由题意，△=42-4ac≥0， ∴ac≤4， 画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数， 所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为故选C. 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键. 6、C

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图得：

61=， 122

∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果， ∴积为偶数的概率是故选：C． 【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7、C

【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：

61， 12290RR＝，

2180圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：

R＝2π， 2∴

R＝2， 2即：R＝4， 故选C． 【点睛】

本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与展开扇形之间关系. 8、D

【解析】试题分析： A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；

B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误； C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误； D、正确． 故选D．

考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象 9、B

【解析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.1附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.1． 故选B． 【点睛】

考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10、A

【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断． 【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确； ②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；

③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为2:3，本选项说法错误；

④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误； ∴正确的只有①；

故选：A． 【点睛】

本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11、A

【分析】首先从方程x2﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．

【详解】解：由方程x2-6x+8=0， 解得：x1=2或x2=4，

当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4时，三角形的周长为：4+3+6=1． 故选：A． 【点睛】

考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之． 12、A

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算． 【详解】∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC与△DEF的面积之比等于（故选：A． 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

二、填空题（每题4分，共24分） 13、6.2

【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题. 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，

∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）， 答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．

AB224）＝（）2＝．

39DE故答案为6.2. 【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答. 14、5 5【解析】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC=4，OC=2， 在Rt△ACO中，AO=AC2OC2422225，

∴sin∠OAB=

OC25． OA525故答案为5． 515、103 【分析】利用垂径定理构建直角三角形，然后利用勾股定理即可得解. 【详解】设排水管最低点为C，连接OC交AB于D，连接OB，如图所示：

∵OC=OB=10，CD=5 ∴OD=5 ∵OC⊥AB

∴BDOB2OD21025253 ∴AB2BD103 故答案为：103. 【点睛】

此题主要考查垂径定理的实际应用，熟练掌握，即可解题. 16、35 2【分析】根据相似三角形的判定得到△ABC∽△CBD，从而可根据其相似比求得AC的长． 【详解】∵ACB90，CDAB，CD5，BD2 ∴∠BDC=∠BCA=90°，∠CBD+∠ABC=90°，BC=3， ∴△ABC∽△CBD，

∴AC：CD=CB：BD，即AC：5 =3：2，

35 ． 235． 故答案为：2∴AC=【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理. 17、x1＝0，x2＝1

【分析】根据x（x-1）=0，推出x=0，x-1=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x（x﹣1）＝0， ∴x＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 故答案为x1＝0，x2＝1． 【点睛】

本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程． 18、1

【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：38﹣（3﹣π）0+（＝2﹣1+2 ＝1．

故答案为：1．

1﹣1

） 2【点睛】

此题考查的是实数的混合运算，掌握立方根的定义、零指数幂的性质和负指数幂的性质是解决此题的关键．

三、解答题（共78分） 19、1米/秒

【解析】分析：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论． 本题解析：

，CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，解：过点C作CD⊥AB于点D.设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒．∵∠A＝45°∴AC＝

x(米)．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝

＝2x(米)．∵小军的行走速度为

米/秒，若小明与小军

同时到达山顶C处，∴＝，解得a＝1.

答：小明的行走速度是1米/秒． 20、

65 5【解析】分析：(1)BBADADB180, ADECDEADB180, ∠ADE＝∠B,可得BADCDE, ABAC, 根据等边对等角得到BC, △BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可证明.

(2) 在线段AB上截取DB＝DF,证明△AFD∽△DEC，根据相似三角形的性质即可证明. (3) 过点E作EF⊥BC于F，根据tan∠BAD＝tan∠EDF＝

EF1，设EF＝x，DF＝2x，则DE＝5x，证明DF2△EDC∽△GEC，求得CG410CG，求出CD＝210， ，根据CE2＝CD·

5根据△BAD∽△GDE,即可求出AB的长度.

详解：(1) BBADADB180, ADECDEADB180, ∠ADE＝∠B,可得BADCDE,

ABAC,

BC,

∵△BAD∽△CDE， ∴

CEBDBD； CDABAC(2) 在线段AB上截取DB＝DF

∴∠B＝∠DFB＝∠ADE

∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED ∴∠AED＝∠DFB，

－∠B，∠BDA＋∠CDE＝180°－∠ADE 同理：∵∠BAD＋∠BDA＝180°∴∠BAD＝∠CDE

－∠DFB，∠DEC＝180°－∠AED ∵∠AFD＝180°∴∠AFD＝∠DEC ， ∴△AFD∽△DEC， ∴

CEDFBD CDADAE(3) 过点E作EF⊥BC于F

∵∠ADE＝∠B＝45°

，∠BDA＋∠EDC＝135° ∴∠BDA＋∠BAD＝135°

∴∠BAD＝∠EBC（三等角模型中，这个始终存在） ∵tan∠BAD＝tan∠EDF＝

EF1 DF2∴设EF＝x，DF＝2x，则DE＝5x， ， 在DC上取一点G，使∠EGD＝45°∴△BAD∽△GDE，

， ∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝45°

，∠C＋∠CEG＝45°，∴∠EDC＝∠GEC， ∵∠AED＝∠EDC＋∠C＝45°∴△EDC∽△GEC，∴CG， 又CE2＝CD·

CGEGCECG2x410 ∴，CG CEDECD455x∴42＝CD·410，CD＝210， 5410210 210，解得x55∴2xx∵△BAD∽△GDE ∴

DEDG2, ADAB∴ABDG3x65. 522点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 21、（1）x13,x21；（2）见解析，点B1的坐标为3,5；点C1的坐标为7,3. 【分析】 ⑴根据配方法解出即可；

⑵根据相似比找到对应的点B1，C1即可. 【详解】解：1x2x30,

2x22x3， x22x131，

x124，

12,.

x13,x21.(解法不唯一)

2解：如图，△AB1C1即为所求.

点B1的坐标为3,5；点C1的坐标为7,3. 【点睛】

此题主要考查了解一元二次方程的配方法及位似图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 22、（1）

11；（2）

24【分析】（1）先画出树状图，得出所有等情况数和小孟、小柯都参加实验A考查的情况数，再根据概率公式即可得出答案；

（2）根据每人都有2种选法，得出共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】解：（1）画树状图如图所示：

∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种， ∴小孟、小柯都参加实验A考查的概率为

1． 441. 82（2）共有8种等情况数，他们三人中至少有两人参加实验B的有4种， 所以他们三人中至少有两人参加实验B的概率是故答案为：

1． 2【点睛】

本题考查了数据统计的知识，中考必考题型，重点需要掌握树状图的画法. 23、（1）8人；（2）8人.

【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；

(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.

【详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有 x+1+（x+1）x=81，

解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． （2）8×81=8（人）．

答：第三轮将又有8人被传染人． 【点睛】

本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键. 24、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论； （2）由（1）的结论得出

PAPBABAB2，即可得出结论. ，进而得出PBPCBCBC【详解】证明：（1）∵ACB90，ABBC， ∴ABC45PBAPBC， 又APB135， ∴PABPBA45， ∴PBCPAB，

又∵APBBPC135， ∴△PAB∽△PBC； （2）∵△PAB∽△PBC， ∴

PAPBAB PBPCBCAB2， BC在RtABC中，ACBC， ∴

∴PB2PC，PA2PB

∴PA2PC. 【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度． 25、y3x12x11

【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．

【详解】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3， ∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣1． 【点睛】

考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便． 26、（1）m=

29312. ；（2）

42【分析】（1）若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2-4ac=1，建立关于m的方程，求出m的取值． （2）把m的值代入方程，利用求根公式可解出方程，求得方程的正根． 【详解】解：（1）∵b2-4ac=9-4m， ∴9-4m=1时，方程有两个相等的实数根， 解得：m=即m=

9， 49时，方程有两个相等的实数根． 49（2）当m=-时，b2-4ac=9-4m=9+3=12＞1，

4∴由求根公式得：x∵323, 312323; 22∴

3120, 2312. 2∴所求的正根为【点睛】

本题主要考查了根的判别式和利用求根公式解一元二次方程．