2022学年安徽省阜阳市某校初二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，点𝑃(𝑥2+1, −2)所在的象限是（ ） A.第一象限
2. 在函数𝑦=√9−3𝑥中，自变量𝑥的取值范围是( ) A.𝑥≤3
3. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是( )
B.𝑥<3
C.𝑥≥3
D.𝑥>3
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.
B. C. D.
4. 下列四个选项中不是命题的是( ) A.对顶角相等
B.过直线外一点作已知直线的平行线 C.三角形任意两边之和大于第三边 D.如果𝑎=𝑏，𝑎=𝑐，那么𝑏=𝑐
5. 一次函数𝑦=𝑘𝑥+3(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，它的图象不经过的象限是( ) A.第一
6. 一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
B.第二
C.第三
D.第四
A.K<0 C.𝑏=−1
7. 若一个三角形的两边长分别为3𝑐𝑚，6𝑐𝑚，则它的第三边的长可能为( ) A.2𝑐𝑚
B.3𝑐𝑚
C.6𝑐𝑚
D.9𝑐𝑚
B.𝑦随𝑥的增大而减小
D.当𝑥>2时，𝑘𝑥+𝑏<0
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8. 在平面直角坐标系中，将直线𝑦=𝑘𝑥−6沿𝑥轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则𝑘的值为（ ） A.−2
9. 如图，若△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸，则下列结论中一定成立的是( )
B.2
C.−3
D.3
A.𝐴𝐶=𝐷𝐸 C.𝐴𝐵=𝐴𝐸
10. 剪纸是我国传统的民间艺术，将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是( )
B.∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸 D.∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐸𝐷
A. B.
C.
二、填空题
D.
平面直角坐标系中，将点𝐴(−1, 2)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点𝐴1的坐标为________．
如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶和𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐹中，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐸𝐹=90∘，𝐵𝐶//𝐷𝐹,在不添加任何辅助线的情况下，若使𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≅𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐹，需添加一个条件是________．
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将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠𝛼的大小为________.
如图，直线𝑙1:𝑦=𝑥+3与过点𝐴(3，0)的直线𝑙2交于点𝐶(1，𝑚)，与𝑥轴交于点𝐵．点𝑀在直线𝑙1上， 𝑀𝑁//𝑦轴，交直线𝑙2于点𝑁，若𝑀𝑁=𝐴𝐵，则点𝑀的坐标是________.
三、解答题
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30∘，∠𝐵=50∘，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，求∠𝐴𝐷𝐶的度数.
图中折线𝑂𝐴𝐵反映了小明从家步行到学校所走的路程𝑠（米）与时间𝑡（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，求当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行走的路程是多少？
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如图，已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸是𝐵𝐶的垂直平分线， ∠𝐵𝐴𝐶=90∘， 𝐴𝐷=2，求𝐶𝐷的长．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐴𝐵的中点．求证：𝐵𝐷=𝐶𝐸．
在平面直角坐标系中，𝐴(−3,0)，𝐵(2,1)，𝐶(3,−4)，𝐷(6,−2)，𝐸(1,3)，如图所示，画图并解答问题.
(1)将线段𝐴𝐵平移到𝐸𝐹，使𝐴与𝐸重合，画出线段𝐸𝐹；
(2)画出线段 𝐶𝐷关于𝑥轴对称的图形𝐺𝐻，使𝐶与𝐺对应；
(3)在(1)(2)的作图中，𝐸𝐹与𝐺𝐻交于点𝑃，直接写出∠𝐹𝑃𝐻的度数________.
在一次数学课上，老师出示了一个例题：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶上的一点，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂．给出下列四个条件：①∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂；②∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂；③𝐵𝐷=𝐶𝐸；④𝑂𝐵=𝑂𝐶．解答下列问题：
(1)从这四个条件中选出两个作为已知条件，可判定△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．请用序号写出所有情形：________；
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(2)选择第(1)题中的一种情形，说明是△𝐴𝐵𝐶等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择________．
甲、乙两个探测气球分别从海拔5𝑚和15𝑚处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔𝑦（单位：𝑚）与气球上升时间𝑥（单位：min）的函数图象．
(1)求这两个气球在上升过程中𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)当这两个气球的海拔高度相差15𝑚时，求上升的时间．
如图，已知∠1=∠𝐵，𝐵𝐸=𝐶𝐷，𝐵𝐹=𝐶𝐴． (1)求证：∠𝐷=∠2；
(2)若𝐸𝐹 // 𝐴𝐶，∠𝐷=78∘，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
“绿水青山就是金山银山”，某山村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉
树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． (1)求柏树和杉树的单价各是多少元；
(2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
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参与试题解析
2022学年安徽省阜阳市某校初二（上）期末考试数学试卷
一、选择题 1. 【答案】 D 【考点】 点的坐标 【解析】
根据平方数非负数判断出点𝑃的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】
解：∵ 𝑥2≥0， ∴ 𝑥2+1≥1，
∴ 点𝑃的横坐标是正数，
∴ 点𝑃(𝑥2+1, −2)所在的象限是第四象限． 故选𝐷． 2. 【答案】 A
【考点】
函数自变量的取值范围 【解析】
根据二次根式的性质，可得被开方数大于等于0，解不等式即可得到𝑥的取值范围． 【解答】
解：根据题意得：9−3𝑥≥0， 解得：𝑥≤3． 故选𝐴. 3. 【答案】 D
【考点】 轴对称图形 【解析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线 叫做对称轴可得答案． 【解答】
解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
𝐴，是轴对称图形，故此选项不合题意； 𝐵，是轴对称图形，故此选项不合题意； 𝐶，是轴对称图形，故此选项不合题意；
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𝐷，不是轴对称图形，故此选项符合题意. 故选𝐷. 4. 【答案】 B
【考点】
定义、命题、定理、推论的概念 【解析】
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【解答】
解：由题意可知，
𝐴，对顶角相等，该选项是命题；
𝐵，过直线外一点作已知直线的平行线，是一个动作，该选项不是命题； 𝐶，三角形任意两边之和大于第三边，该选项是命题； 𝐷，如果𝑎=𝑏,𝑎=𝑐，那么𝑏=𝑐，该选项是命题. 故选𝐵． 5. 【答案】 D
【考点】
一次函数的性质 【解析】
根据一次函数𝑦＝𝑘𝑥+3(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，可以得到𝑘>0，与𝑦轴的交点为(0, 3)，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【解答】
解：∵ 一次函数𝑦=𝑘𝑥+3(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大， ∴ 𝑘>0，该函数过点(0, 3)，
∴ 该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 故选𝐷. 6. 【答案】 C
【考点】
一次函数与一元一次不等式 一次函数的性质 【解析】
直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案． 【解答】
解：图象与𝑦轴交于点(0, −1)，故𝑏=−1， 𝑘>0，𝑦随𝑥的增大而增大， 当𝑥>2时，𝑘𝑥+𝑏>0. 正确的只有C选项. 故选𝐶. 7.
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【答案】 C
【考点】
三角形三边关系 【解析】
首先设第三边长为𝑥𝑐𝑚，根据三角形的三边关系可得6−3<𝑥<6+3，再解不等式即可． 【解答】
解：设第三边长为𝑥𝑐𝑚，
根据三角形的三边关系可得：6−3<𝑥<6+3， 解得：3<𝑥<9. 故选𝐶. 8. 【答案】 B
【考点】
一次函数图象与几何变换 待定系数法求一次函数解析式 【解析】
根据平移规律得到平移后的直线为𝑦=𝑘(𝑥+3)−6，然后把 (0,0)代入解得即可． 【解答】
解：将直线𝑦=𝑘𝑥−6沿𝑥轴向左平移3个单位后得到𝑦=𝑘(𝑥+3)−6经过原点， 所以0=𝑘(0+3)−6，解得𝑘=2. 故选𝐵． 9. 【答案】 B
【考点】
全等三角形的性质 【解析】
根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】
解：∵ △𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸，
∴ 𝐴𝐶=𝐴𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐷𝐴𝐶， 即∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，
故𝐴，𝐶，𝐷选项错误，𝐵选项正确. 故选𝐵. 10. 【答案】 A 【考点】 剪纸问题 【解析】
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对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】
解：严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折， 从斜边处剪去一个直角三角形，
从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，
展开后实际是从原纸片的四边处各剪去一个直角三角形， 从原纸片的中心剪去一个和纸片位置基本一致的正方形． 故选𝐴． 二、填空题 【答案】 (−3, 3)
【考点】
坐标与图形变化-平移 【解析】
根据在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数𝑎，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移𝑎个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数𝑎，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移𝑎个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）即可得结论． 【解答】
解：∵ 将点𝐴(−1, 2)先向左平移2个单位，横坐标−2， 再向上平移1个单位纵坐标+1，
∴ 平移后得到的点𝐴1的坐标为：(−3, 3)． 故答案为：(−3, 3)． 【答案】
𝐴𝐵=𝐸𝐷（答案不唯一） 【考点】
全等三角形的判定 【解析】
根据全等三角形的判定解答即可． 【解答】
解：∵ 𝐵𝐶 // 𝐷𝐹， ∴ ∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐵𝐶𝐴， ∴ 添加𝐴𝐵=𝐸𝐷，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶和𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐹中， ∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐵𝐶𝐴，{∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐵𝐴𝐶，
𝐴𝐵=𝐸𝐷，∴ 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≅𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆). 故答案为：𝐴𝐵=𝐸𝐷（答案不唯一）. 【答案】 75∘
【考点】
三角形内角和定理 【解析】
由三角板的重合算出一个锐角，再由三角形内角和定理得出方程，从而得出答案.
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【解答】 解：如图所示，
∵ ∠𝐵𝐶𝐷=60∘，∠𝐵𝐶𝐴=45∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐵𝐶𝐴 =60∘−45∘=15∘， ∴ ∠𝛼=180∘−∠𝐷−∠𝐴𝐶𝐷 =180∘−90∘−15∘=75∘. 故答案为：75∘. 【答案】 (3，6)或(−1，2)
【考点】 绝对值
待定系数法求一次函数解析式 一次函数图象上点的坐标特点 【解析】
先把点𝐶的坐标代入𝑦=𝑥+3，求出𝑚的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再由已知条件得出𝑀，𝐍两点的横坐标，利用两点间距离公式求出𝑀的坐标. 【解答】
解：在𝑦=𝑥+3中，令𝑦=0，得𝑥=−3， ∴ 𝐵(−3，0).
把𝑥=1代入𝑦=𝑥+3得𝑦=4， ∴ 𝐶(1，4).
设直线𝑙2的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 𝑘+𝑏=4，𝑏=6，∴ {解得{
3𝑘+𝑏=0，𝑘=−2，∴ 直线𝑙2的解析式为𝑦=−2𝑥+6，
∴ 𝐴𝐵=3−(−3)=6.
设𝑀(𝑎，𝑎+3)，由𝑀𝑁//𝑦轴，得𝑁(𝑎，−2𝑎+6)， ∴ 𝑀𝑁=|𝑎+3−(−2𝑎+6)|=𝐴𝐵=6， 解得𝑎=3或𝑎=−1， ∴ 𝑀(3，6)或(−1，2). 故答案为：(3，6)或(−1,2). 三、解答题 【答案】
解：∵ ∠𝐴=30∘，∠𝐵=50∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵=180∘−30∘−50∘=100∘（三角形内角和定义）． ∵ 𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐵=2×100∘=50∘，
∴ ∠𝐴𝐷𝐶=180∘−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴=180∘−50∘−30∘=100∘．
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【考点】
三角形内角和定理 角平分线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ ∠𝐴=30∘，∠𝐵=50∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵=180∘−30∘−50∘=100∘（三角形内角和定义）． ∵ 𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐵=2×100∘=50∘，
∴ ∠𝐴𝐷𝐶=180∘−∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐴=180∘−50∘−30∘=100∘． 【答案】
解：当8≤𝑡≤20时，设𝑠=𝑘𝑡+𝑏， 将(8，960), (20，1800)代入， 8𝑘+𝑏=960，得：{
20𝑘+𝑏=1800，𝑘=70，解得：{
𝑏=400，∴ 𝑠=70𝑡+400.
当𝑡=15时，𝑠=1450， 1800−1450=350（米），
∴ 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米. 【考点】
待定系数法求一次函数解析式 一次函数的应用 【解析】
当8≤𝑡≤20时，设𝑠=𝑘𝑡+𝑏，将(8，960)，(20，1800)代入求得𝑠=70𝑡+400，求出𝑡=15时𝑠的值，从而得出答案. 【解答】
解：当8≤𝑡≤20时，设𝑠=𝑘𝑡+𝑏， 将(8，960), (20，1800)代入， 8𝑘+𝑏=960，得：{
20𝑘+𝑏=1800，𝑘=70，解得：{
𝑏=400，∴ 𝑠=70𝑡+400.
当𝑡=15时，𝑠=1450， 1800−1450=350（米），
∴ 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米. 【答案】
解：∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴ ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷.
∵ 𝐸𝐷是𝐵𝐶的垂直平分线， ∴ 𝐷𝐶=𝐷𝐵，
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∴ ∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐷. ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘，
∴ ∠𝐶=30∘.
∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴ 𝐷𝐸=𝐴𝐷=2.
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷=2𝐷𝐸=4. 【考点】
线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 含30度角的直角三角形 【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐶=𝐷𝐵，根据等腰三角形的性质得到∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐷，求出∠𝐶=30∘，根据角平分线的性质得到𝐷𝐸=𝐷𝐴，根据勾股定理计算，得到答案. 【解答】
解：∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴ ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷.
∵ 𝐸𝐷是𝐵𝐶的垂直平分线， ∴ 𝐷𝐶=𝐷𝐵， ∴ ∠𝐶=∠𝐶𝐵𝐷. ∵ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘，
∴ ∠𝐶=30∘.
∵ 𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴ 𝐷𝐸=𝐴𝐷=2.
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷=2𝐷𝐸=4. 【答案】
证明：∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷、𝐸分别为𝐴𝐶、𝐴𝐵的中点， ∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶，{∠𝐴=∠𝐴， 𝐴𝐷=𝐴𝐸，∴ △𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐵𝐷=𝐶𝐸．
【考点】
全等三角形的性质与判定 【解析】
由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，可得𝐵𝐷=𝐶𝐸． 【解答】
证明：∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷、𝐸分别为𝐴𝐶、𝐴𝐵的中点， ∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐸，
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶，{∠𝐴=∠𝐴， 𝐴𝐷=𝐴𝐸，试卷第12页，总19页
∴ △𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐵𝐷=𝐶𝐸． 【答案】
解：(1)将线段𝐴𝐵平移到𝐸𝐹，线段𝐸𝐹如图所示，
(2)线段𝐶𝐷关于𝑥轴对称的图形𝐺𝐻，如图所示，点𝐻的坐标为(6,2).
45∘
【考点】
作图-轴对称变换 作图－平移变换 全等三角形的应用 等腰直角三角形 【解析】
(1)利用平移的性质作出图形即可. (2)根据轴对称的性质作出图形即可.
(3)取格点𝑀，连接𝐸𝑀，𝑀𝐹，可得△𝐸𝑀𝐹是等腰直角三角形，利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】
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解：(1)将线段𝐴𝐵平移到𝐸𝐹，线段𝐸𝐹如图所示，
(2)线段𝐶𝐷关于𝑥轴对称的图形𝐺𝐻，如图所示，点𝐻的坐标为(6,2).
(3)取格点𝑀(4,1)，连结𝐸𝑀，𝐹𝑀，取格点𝐸′(1,1)，取格点𝐹′(6,1).
∵ 𝐸(1,3)，𝑀(4,1)，𝐹(6,4)，
∴ 𝐸𝐸′=𝑀𝐹′=2，𝐸′𝑀=𝐹𝐹′=3，
试卷第14页，总19页
∠𝐸𝐸′𝑀=∠𝑀𝐹′𝐹=90∘， 在△𝐸𝐸′𝑀和△𝑀𝐹′𝐹中， 𝐸𝐸′=𝑀𝐹′，{∠𝐸𝐸′𝑀=∠𝑀𝐹′𝐹，
𝐸′𝑀=𝐹′𝐹，∴ △𝐸𝐸′𝑀≅△𝑀𝐹′𝐹.
∴ 𝐸𝑀=𝐹𝑀，∠𝐸′𝑀𝐸=∠𝐹′𝐹𝑀. ∵ ∠𝐹′𝐹𝑀+∠𝐹𝑀𝐹′=90∘， ∴ ∠𝐸′𝑀𝐸+∠𝐹𝑀𝐹′=90∘. ∴ ∠𝐸𝑀𝐹=90∘.
∴ △𝐸𝑀𝐹是等腰直角三角形. ∴ ∠𝑀𝐸𝐹=45∘. 由图可知， 𝐸𝑀//𝐺𝐻. ∴ ∠𝐹𝑃𝐻=∠𝑀𝐸𝐹=45∘. 故答案为：45∘. 【答案】
①③，①④，②③和②④
(2)选择①③，理由如下：
∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，𝐵𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐸𝑂𝐶， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶， ∴ 𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， 又∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择①④，理由如下： ∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵． 又∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵， 即∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择②③，理由如下：
∵ ∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂，∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐸，𝐵𝐷=𝐶𝐸， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择②④，理由如下：
∵ ∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂，∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐸𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶， ∴ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂． 又∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵，
试卷第15页，总19页
即∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形． 【考点】
等腰三角形的性质与判定 全等三角形的性质与判定 【解析】
（1）要证△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，就要证∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐶𝐵，根据已知条件即可找到证明∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐶𝐵的组合；
（2）可利用△𝐷𝑂𝐵与△𝐸𝑂𝐶全等，得出𝑂𝐶＝𝑂𝐵，再得出∠𝑂𝐶𝐵与∠𝑂𝐵𝐶相等，就能证明∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵相等． 【解答】
解：(1)任选两个作为已知条件，可判定△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形的条件有①③，①④，②③和②④．
故答案为：①③，①④，②③和②④．
(2)选择①③，理由如下：
∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，𝐵𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐸𝑂𝐶， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶， ∴ 𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， 又∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择①④，理由如下： ∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐶，
∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵． 又∵ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵， 即∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择②③，理由如下：
∵ ∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂，∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐸，𝐵𝐷=𝐶𝐸， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形； 选择②④，理由如下：
∵ ∠𝐵𝐷𝑂=∠𝐶𝐸𝑂，∠𝐷𝑂𝐵=∠𝐸𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ △𝐷𝑂𝐵≅△𝐸𝑂𝐶， ∴ ∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐸𝐶𝑂． 又∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵，
∴ ∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵， 即∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，
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∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等腰三角形． 【答案】
解：(1)设甲气球的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 乙气球的函数解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 将(0, 5)，(20, 25)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 5=𝑏,𝑘=1,
得{ 解得{ 25=20𝑘+𝑏,𝑏=5,故甲气球的函数解析式为𝑦=𝑥+5， 将(0, 15)，(20, 25)代入𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 15=𝑛,𝑚=2,得{ 解得{ 25=20𝑚+𝑛,𝑛=15,故乙气球的函数解析式为𝑦=2𝑥+15.
(2)由初始位置可得：
当𝑥大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15𝑚， 且此时甲气球海拔更高， ∴ 𝑥+5−(2𝑥+15)=15，
解得𝑥=50，
∴ 当这两个气球的海拔高度相差15𝑚时，上升的时间为50min. 【考点】
待定系数法求一次函数解析式 一次函数的应用 【解析】
（1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据分析可知：当𝑥大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15𝑚，可得方程𝑥+5−(𝑥+15)＝15，解之即可．
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【解答】
解：(1)设甲气球的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 乙气球的函数解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 将(0, 5)，(20, 25)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 5=𝑏,𝑘=1,
得{ 解得{ 25=20𝑘+𝑏,𝑏=5,故甲气球的函数解析式为𝑦=𝑥+5， 将(0, 15)，(20, 25)代入𝑦=𝑚𝑥+𝑛， 15=𝑛,𝑚=,
2 得{ 解得{
25=20𝑚+𝑛,𝑛=15,故乙气球的函数解析式为𝑦=2𝑥+15.
(2)由初始位置可得：
当𝑥大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15𝑚， 且此时甲气球海拔更高， ∴ 𝑥+5−(2𝑥+15)=15，
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解得𝑥=50，
∴ 当这两个气球的海拔高度相差15𝑚时，上升的时间为50min. 【答案】
(1)证明：在△𝐵𝐸𝐹和△𝐶𝐷𝐴中， 𝐵𝐸=𝐶𝐷，{∠𝐵=∠1， 𝐵𝐹=𝐶𝐴，∴ △𝐵𝐸𝐹≅△𝐶𝐷𝐴(𝑆𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐷=∠2．
(2)解：∵ ∠𝐷=∠2，∠𝐷=78∘， ∴ ∠2=∠𝐷=78∘． ∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠2=78∘． 【考点】
全等三角形的判定 平行线的性质 全等三角形的性质 【解析】
（1）由𝑆𝐴𝑆′可证△𝐵𝐸𝐹≅△𝐶𝐷𝐴，可得∠𝐷=2
（2）由（1）可得∠𝐷=2=78∘，由平行线的性质可得∠2=2𝐵𝐴𝐶=78∘ 【解答】
(1)证明：在△𝐵𝐸𝐹和△𝐶𝐷𝐴中， 𝐵𝐸=𝐶𝐷，{∠𝐵=∠1， 𝐵𝐹=𝐶𝐴，∴ △𝐵𝐸𝐹≅△𝐶𝐷𝐴(𝑆𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐷=∠2．
(2)解：∵ ∠𝐷=∠2，∠𝐷=78∘， ∴ ∠2=∠𝐷=78∘． ∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠2=78∘． 【答案】
解：(1)设柏树每棵𝑥元，杉树每棵𝑦元，根据题意得： 2𝑥+3𝑦=850，𝑥=200，{解得：{
𝑦=150，3𝑥+2𝑦=900，答：柏树每棵200元，杉树每棵150元．
(2)设购买柏树𝑎棵，则杉树为(80−𝑎)棵，购树总费用为𝑤元， 根据题意：𝑎≥2(80−𝑎)，解得𝑎≥533， 𝑤=200𝑎+150(80−𝑎)=50𝑎+12000，
∵ 50>0，
∴ 𝑤随𝑎的增大而增大， 又∵ 𝑎为整数，
∴ 当𝑎=54时，𝑤最小=14700，
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此时，80−𝑎=26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元． 【考点】
二元一次方程组的应用——其他问题 一元一次不等式的实际应用 一次函数的应用 【解析】
（1）设柏树的单价为𝑥元/棵，杉树的单价是𝑦元/棵，根据“购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买柏树𝑎棵，则杉树为(80−𝑎)棵，购树总费用为𝑤元，根据题意求出𝑤与𝑎的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出𝑎的取值范围，再根据𝑎是正整数确定出购买方案． 【解答】
解：(1)设柏树每棵𝑥元，杉树每棵𝑦元，根据题意得： 2𝑥+3𝑦=850，𝑥=200，{解得：{
𝑦=150，3𝑥+2𝑦=900，答：柏树每棵200元，杉树每棵150元．
(2)设购买柏树𝑎棵，则杉树为(80−𝑎)棵，购树总费用为𝑤元， 根据题意：𝑎≥2(80−𝑎)，解得𝑎≥53，
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𝑤=200𝑎+150(80−𝑎)=50𝑎+12000，
∵ 50>0，
∴ 𝑤随𝑎的增大而增大， 又∵ 𝑎为整数，
∴ 当𝑎=54时，𝑤最小=14700， 此时，80−𝑎=26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．
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