《复变函数论》试题库

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)anznan1zn1a0(an0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的zD，有f1(z)f2(z). （ ）

5．若z是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)0. （ ）

z二、填空题.（每题2分）

1．i2i3i4i5i6 _____________________. 2．设zxiy0，且argz,argarctanyx1z________________.

2arctanyx2，当x0,y0时，

3．函数w将z平面上的曲线(x1)2y21变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4a40(a0)的不同的根为________________. 5．(1i)i___________________.

6．级数[2(1)n]z2的收敛半径为____________________.

n07．cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_____________________.

3368．函数f(z)6sinzz(z6)的零点z0的阶数为_____________________.

9．设a为函数f(z)(z)(z)的一阶极点，且(a)0,(a)0,(a)0，则

Reszaf(z)f(z)_____________________.

10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Reszaf(z)f(z)_____________________.

三、计算题（50分）

1

1．设u(x,y)满足f(1i)1212ln(xy)。求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为解析函数，且ln2.其中zD（D为复平面内的区域）.（15分）

222．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）

1 （1） tanz； （5分） （2）3．计算下列积分.（15分） （1） （2）zz42419432ez1e1z. （5分）

(z1)(z2)d， dz （8分）

01cos2 （7分）.

4．叙述儒歇定理并讨论方程z75z4z220在z1内根的个数.（10分） 四、证明题

1．设函数f(z)在zR内解析，令M(r)maxf(z),(0rR)。证明：M(r)在区

zr间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0r1r2R），使M(r1)M(r2)，则

f(z)常数.（10分）

《复变函数》考试试题（二）

二、

判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数z1x1iy1及z2x2iy2，若x1x2或y1y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）

2．函数f(z)Rez在复平面上处处可微。 （ ）

223．sinzcosz1且sinz1,cosz1。 （ ）

4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域DDD上连续，则存在M0，使得对任意的zD，有f(z)M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

1．iiiii _____________________。 2．设zxiy0，且argz,2arctanyx234562，当x0,y0时，

2

argarctanyx________________。

3．若已知f(z)x(11xy2)iy(121xy22则其关于变量z的表达式为__________。 )，

4．nz以z________________为支点。 5．若lnzdzz12i，则z_______________。

6．z________________。

7．级数1z2z4z6的收敛半径为________________。 8．cosnz在zn（n为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若za为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则za是1f(z)的________________奇点。

10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Reszaf(z)f(z)_____________________。

三、计算题（50分）

1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w5z在D内满足条件511的单值

连续解析分支在z1i处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)Lnzz12的各解析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10

ezz分） （2）求Resz0n1。 （5分）

3．计算下列积分。（15分） （1）zz22372(z1)(z2)xdx(xa)2222dz （8分），

（2）(a0) （7分）。

．叙述儒歇定理并讨论方程z6z100在z1内根的个数。（10分）

四、证明题（20分）

3

1．讨论函数f(z)ez在复平面上的解析性。 （10分）

1zeCnzn2．证明：

2in!d(znn!（10分） )， 此处C是围绕原点的一条简单曲线。

2《复变函数》考试试题（三）

一、填空题．（每题２分） １．设zr(cosisin)，则

1z_____________________．

２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则limf(z)A的充

zz0要条件是_______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

Cf(z)dz_________________________．

４．设za为f(z)的极点，则limf(z)____________________．

za５．设f(z)zsinz，则z0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)11z2，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设zazab，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设zsin6icos6，则z的三角表示为_________________________．

９．4zcoszdz___________________________．

0１０．设f(z)ez2z，则f(z)在z0处的留数为________________________．

二、计算题．

１．计算下列各题．（９分）

3i(1) cosi； (2) ln(23i); (3) 3

2．求解方程z80．（７分）

３．设uxyxy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之（８分） f(i)1i．

４．计算积分．（10分） (1)

223C2(xiy)dz，其中C是沿yx由原点到点z1i的曲线．

24

(2)

1i02 [(xy)ix]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．

５．试将函数f(z)1(z1)(z2)分别在圆环域0z1和1z2内展开为洛朗级

数．（８分）

６．计算下列积分．（８分） (1)

5z2z2z(z1)2dz； (2)

sinzz42z(z1)2dz．

７．计算积分x241x（８分） dx．

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

n1(1)

nzn1； (2)

2n1(1)n!nz．

n９．讨论f(z)z的可导性和解析性．（６分） 三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

《复变函数》考试试题（四）

一、填空题．（每题２分）

１．设zr(cosisin)，则zn___________________．

２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，则limf(z)A的充

zz0要条件______________________．

３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

Cf(z)dz_________________________．

４．设za为f(z)的可去奇点，limf(z)____________________．

za５．设f(z)z(e６．设f(z)11z2z21)，则z0是f(z)的________阶零点．

2，则f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设zazab，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设zsinicos，则z的三角表示为_________________________．

5

９．1i0zedz___________________________．

1zz１０．设f(z)z2sin二、计算题．

，则f(z)在z0处的留数为________________________．

１．计算下列各题．（９分） (1) Ln(34i)； (2) e1i6; (3) (1i)1i

2．求解方程z320．（７分）

３．设u2(x1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)uiv，使之f(2)i．（８分）

４．计算积分1i0[(xy)ix]dz，其中路径为（１）自原点到点1i的直线段；

2(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．（10分） ５．试将函数f(z)1(z2)在z1的邻域内的泰勒展开式．（８分）

６．计算下列积分．（８分） (1)

sinzz2(z2dz； (2) )2z2z42z(z3)2dz．

７．计算积分20d53cos．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

n(1)

(1i)n1z； (2)

nn1(n!)nn2z．

n3232９．设f(z)mynxyi(xlxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６

分）

三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

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