2020年安徽省中考数学模拟试卷（1）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A．+a和﹣（﹣a）互为相反数 C．﹣a一定是负数
2．（4分）下列计算正确的是（ ） A．（a3）2＝a5 C．a7•a4＝a3
﹣
B．+a和﹣a一定不相等 D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等
B．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a6
﹣
﹣
﹣
3．（4分）下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）截止到2019年9月3日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到了47.24亿，47.24亿用科学记数法表示为（ ） A．47.24×109 5．（4分）解分式方程
1
B．4.724×109
𝑥−1
C．4.724×105 D．472.4×105
=
2𝑥2−1
时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
C．x﹣1＝2
D．x+1＝2
𝑘
A．x+1＝2（x﹣1） B．x﹣1＝2（x+1）
6．（4分）如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y=𝑥上一点，k的值是（ ）
A．4
B．8
C．16
第1页（共23页）
D．24
7．（4分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ） A．1+x＝225 C．（1+x）2＝225
B．1+x2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
8．（4分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm
9．（4分）如果分式方程A．﹣4
B．4πcm
𝑥𝑥−4
C．𝜋𝑐𝑚
2
𝑎4−𝑥
7
D．𝑐𝑚
2
5
=2+
12
无解，则a的值为（ ）
C．2
D．﹣2
B．
10．（4分）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE．当点F在AC上运动时，设AF＝x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
第2页（共23页）
C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ．
12．（5分）已知，实数x满足x＝20202+20212，求代数式√2𝑥−1的值等于 ． 13．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝4，点D是边AC上一点，且AD＝1，点E是AB边上一点，连接DE，以线段DE为直角边作等腰直角△DEF（D、E、F三点依次呈逆时针方向），当点F恰好落在BC边上时，则AE的长是 ．
14．（5分）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME＝108°，②AN2＝AM•AD；③MN＝3−√5；④S△EBC＝2√5−1，其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15．（8分）计算：|1−√3|+2cos30°−√12−20200．
16．（8分）现有学生若干人，分住若干宿舍．如果每间住4人，那么还余20人；如果每间住6人，那么有一间宿舍只住了2人．试求学生人数和宿舍间数． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
第3页（共23页）
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．
18．（8分）记：P1＝﹣2，P2＝（﹣2）×（﹣2），P3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，𝑃𝑛=(−2)×(−2)×⋯×(−2)．
︸𝑛个（1）计算P7÷P8的值； （2）计算2P2019+P2020的值；
（3）猜想2Pn与Pn+1的关系，并说明理由． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）如图，从A城市到B城市要翻过一座大山，现需要打通隧道，修建高铁方便两地出行，已知在A城市的北偏东30°方向和B城市的北偏西67°方向有一C地，A，C相距230km，求A，B两个城市之间的距离．（参考数据：sin67°≈13，cos67°≈13，tan67°≈5，√3≈1.7，结果精确到1km）
12
12
5
20．（10分）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任老师设计了一个摸球游戏，利用己学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上A、B、C（每个字母分别代表一位同学，其中A、B分别代表两位女生，C代表男生），搅匀后，老师从箱子里随机摸出一个
第4页（共23页）
乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛．
（1）求老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
121．（12分）如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线𝑦1=𝑥，直线y2＝k2x+b1，y3
𝑘
＝k3x+b2，且点A（2，5），点B（﹣6，n）在双曲线的图象上 （1）求y1和y2的解析式；
（2）若y3与直线x＝4交于双曲线，且y3∥y2，求y3的解析式； （3）直接写出
𝑘1𝑥
−𝑘3𝑥−𝑏2＜0的解集．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
̂=𝐵𝐶̂，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，𝐴𝐶使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB＝2，求BD的长．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
第5页（共23页）
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：𝑦=𝑥+𝑚与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
1
234
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
第6页（共23页）
2020年安徽省中考数学模拟试卷（1）
参与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A．+a和﹣（﹣a）互为相反数 C．﹣a一定是负数
B．+a和﹣a一定不相等 D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等
【解答】解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等； B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a＝0时二者相等； C、﹣a一定是负数；错误，当a＝0时不符合； D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确． 故选：D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ） A．（a3）2＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．a7•a﹣
4＝a3
D．（a﹣
2）﹣
3＝a﹣
6
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误； B、a6÷a2＝a4，故此选项错误； C、a7•a﹣
4＝a3，正确；
D、（a﹣
2）﹣
3＝a6，故此选项错误；
故选：C．
3．（4分）下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形， 圆柱的主视图是长方形， 圆台的主视图是梯形，
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球的主视图是圆形， 故选：B．
4．（4分）截止到2019年9月3日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到了47.24亿，47.24亿用科学记数法表示为（ ） A．47.24×109
B．4.724×109
C．4.724×105
D．472.4×105
【解答】解：47.24亿＝4724 000 000＝4.724×109． 故选：B． 5．（4分）解分式方程
1𝑥−1
=
2𝑥2−1
时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
C．x﹣1＝2
D．x+1＝2
A．x+1＝2（x﹣1） B．x﹣1＝2（x+1） 【解答】解：去分母得：x+1＝2， 故选：D．
6．（4分）如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y=上一点，k的值是（ ）
𝑘
𝑥
A．4
B．8
C．16
D．24
【解答】解：延长CD交x轴于点E，过点Q作QF⊥OA，垂足为F， ∵OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝6，∠ABC＝∠OAB＝90°＝∠DAE， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC （ASA）， ∴AE＝BC＝6，
∴OE＝OA+AE＝6+6＝12， ∵BC∥AE，
第8页（共23页）
∴△BCQ∽△OEQ， ∴
𝐵𝑄𝑂𝑄
=
𝐵𝐶𝑂𝐸
=
612
=，
2
1
又∵QF∥AB， ∴
𝑄𝐹𝐴𝐵
=
𝑂𝑄𝑂𝐵
=
22+1
=，
3
2
∵AB＝6， ∴QF＝6×
2
=4＝OF， 3∴Q（4，4），
∵点Q在反比例函数的图象上， ∴k＝4×4＝16， 故选：C．
7．（4分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（ ） A．1+x＝225 C．（1+x）2＝225
【解答】解：设1人平均感染x人， 依题意可列方程：（1+x）2＝225． 故选：C．
8．（4分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
B．1+x2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225
第9页（共23页）
A．10cm B．4πcm C．𝜋𝑐𝑚
2
7
D．𝑐𝑚
2
5
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB=√32+42=5cm，CA1＝3cm， ∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长=故选：C．
9．（4分）如果分式方程A．﹣4
𝑥𝑥−4
90⋅𝜋⋅560⋅𝜋⋅37
+=π（cm）． 1801802=2+
12
𝑎4−𝑥
无解，则a的值为（ ）
C．2
D．﹣2
B．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A．
10．（4分）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE．当点F在AC上运动时，设AF＝x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
第10页（共23页）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，连接DE与AC交于点M，
则当点F运动到点M处时，三角形△BEF的周长y最小，且AM＞MC．
通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ﹣y（3x﹣y）2 ． 【解答】解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
第11页（共23页）
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
12．（5分）已知，实数x满足x＝20202+20212，求代数式√2𝑥−1的值等于 4041 ． 【解答】解：2x﹣1＝2（20202+20212）﹣1 ＝2[20202+（2020+1）2]﹣1 ＝2（20202+20202+2×2020+1）﹣1 ＝4×20202+4×2020+1 ＝（2×2020+1）2 ＝40412
∴√2𝑥−1=√40412 ＝4041
故答案为：4041．
13．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝4，点D是边AC上一点，且AD＝1，点E是AB边上一点，连接DE，以线段DE为直角边作等腰直角△DEF（D、E、F三点依次呈逆时针方向），当点F恰好落在BC边上时，则AE的长是
32或2 ．
【解答】解：分两种情况：
①当∠DEF＝90°时，如图1所示： ∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠EFD＝∠EDF＝45°，BC=√2AB＝4√2，DF=√2EF， ∵AD＝1，
∴CD＝AC﹣AD＝3，
∵∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠B+∠BEF， ∴∠CFD＝∠BEF， ∴△CDF∽△BFE， ∴
𝐶𝐹𝐵𝐸
=
𝐶𝐷𝐵𝐹
=
𝐷𝐹𝐸𝐹
=
√2，
第12页（共23页）
∴BF=
𝐶𝐷33
==2√2， √2√2
∴CF＝BC﹣BF＝4√2−√2=√2，
22∴BE=
𝐶𝐹5
=， 2√23
35
∴AE＝AB﹣BE=2；
②当∠EDF＝90°时，如图2所示： 同①得：△CDF∽△BFE， ∴
𝐶𝐹𝐵𝐸
=
𝐶𝐷𝐵𝐹
=
𝐷𝐹𝐸𝐹
=
1√2，
∴BF=√2CD＝3√2，
∴CF＝BC﹣BF＝4√2−3√2=√2， ∴BE=√2CF＝2， ∴AE＝AB﹣BE＝2； 综上所述，AE的长是或2；
23
故答案为：或2．
2
3
14．（5分）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME＝108°，②AN2＝AM•AD；③MN＝3−√5；④S△EBC＝2√5−1，其中正确的结论是 ①②③ （把你认为正确结论的序号都填上）．
第13页（共23页）
【解答】解：∵∠BAE＝∠AED＝108°， ∵AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，
∴∠AME＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝108°，故①正确； ∵∠AEN＝108°﹣36°＝72°，∠ANE＝36°+36°＝72°， ∴∠AEN＝∠ANE， ∴AE＝AN， 同理DE＝DM， ∴AE＝DM，
∵∠EAD＝∠AEM＝∠ADE＝36°， ∴△AEM∽△ADE ∴
𝐴𝐸𝐴𝐷
=
𝐴𝑀𝐴𝐸
，
∴AE2＝AM•AD；
∴AN2＝AM•AD；故②正确； ∵AE2＝AM•AD，
∴22＝（2﹣MN）（4﹣MN）， 解得：MN＝3−√5；故③正确； 在正五边形ABCDE中， ∵BE＝CE＝AD＝1+√5， ∴BH=BC＝1，
∴EH=√𝐵𝐸2−𝐵𝐻=√5+2√5，
∴S△EBC=2BC•EH=2×2×√5+2√5=√5+2√5，故④错误； 故答案为：①②③．
1
1
1
2第14页（共23页）
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15．（8分）计算：|1−√3|+2cos30°−√12−20200． 【解答】解：原式=√3−1+2×=√3−1+√3−2√3−1 ＝﹣2．
16．（8分）现有学生若干人，分住若干宿舍．如果每间住4人，那么还余20人；如果每间住6人，那么有一间宿舍只住了2人．试求学生人数和宿舍间数． 【解答】解：设学生有x人，宿舍有y间， 𝑥=4𝑦+20依题意，得：{，
𝑥=6(𝑦−1)+2𝑥=68
解得：{．
𝑦=12
答：学生有68人，宿舍有12间．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．
√32−2√3−1
第15页（共23页）
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．
18．（8分）记：P1＝﹣2，P2＝（﹣2）×（﹣2），P3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，𝑃𝑛=(−2)×(−2)×⋯×(−2)．
︸𝑛个（1）计算P7÷P8的值； （2）计算2P2019+P2020的值；
（3）猜想2Pn与Pn+1的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵P1＝﹣2＝（﹣2）1， P2＝（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）2，
P3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）3， …，
𝑃𝑛=(−2)×(−2)×⋯×(−2)=（﹣2）n
︸𝑛个∴P7÷P8的值为：（﹣2）7÷（﹣2）8=−2； （2）2P2019+P2020的值为： 2（﹣2）2019+（﹣2）2020 ＝﹣22020+22020 ＝0；
（3）2Pn与Pn+1的关系：互为相反数的关系．理由如下： 2pn＝2（﹣2）n，
第16页（共23页）
1
pn+1＝（﹣2）n+1，
当n为奇数时，n+1为偶数， ∴2pn＝2（﹣2）n＝﹣2n+1 pn+1＝（﹣2）n+1＝2n+1 ﹣2n+1与2n+1互为相反数； 当n为偶数时，n+1为奇数， ∴2pn＝2（﹣2）n＝2n+1 pn+1＝（﹣2）n+1＝﹣2n+1 2n+1与﹣2n+1互为相反数；
所以2Pn与Pn+1的关系：互为相反数的关系． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）如图，从A城市到B城市要翻过一座大山，现需要打通隧道，修建高铁方便两地出行，已知在A城市的北偏东30°方向和B城市的北偏西67°方向有一C地，A，C相距230km，求A，B两个城市之间的距离．（参考数据：sin67°≈≈
12
，3≈1.7，结果精确到1km） 5√
125，cos67°≈，tan67°1313
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵C在A城市的北偏东30°方向，距离A地230km， ∴∠ACD＝30°，
∴AD=2×230=115（km），CD＝115√3（km）， ∵B城市的北偏西67°方向有一C地， ∴∠BCD＝67°，
∴BD＝CD•tan67°≈115√3×5≈469（km）． ∴AB＝AD+BD＝115+469＝584（km）．
第17页（共23页）
1
12
答：A，B两个城市之间的距离为584km．
20．（10分）某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任老师设计了一个摸球游戏，利用己学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上A、B、C（每个字母分别代表一位同学，其中A、B分别代表两位女生，C代表男生），搅匀后，老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛．
（1）求老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率． 【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中是“男生”的有1种， 所以老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为；
31
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中是“一男一女”的有4种， 所以恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率为=．
6
34
2
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
121．（12分）如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线𝑦1=𝑥，直线y2＝k2x+b1，y3
𝑘
＝k3x+b2，且点A（2，5），点B（﹣6，n）在双曲线的图象上 （1）求y1和y2的解析式；
（2）若y3与直线x＝4交于双曲线，且y3∥y2，求y3的解析式； （3）直接写出
𝑘1𝑥
−𝑘3𝑥−𝑏2＜0的解集．
第18页（共23页）
1【解答】解：（1）把A（2，5）代入双曲线𝑦1=𝑥得k1＝2×5＝10，
𝑘
∴y1=
10
， 𝑥10
得﹣6n＝10， 𝑥把B（﹣6，n）代入y1=解得n=−3，
5
∴B点坐标为（﹣6，−），
215把A（2，5），B（﹣6，−）代入y2＝k2x+b1得{5， 3−6𝑘2+𝑏1=−35
32𝑘+𝑏=5
𝑘2=
6， 解得{
10𝑏1=
35
∴y2=x+
5610； 3（2）如图，把x＝4代入y1=𝑥得y=2， 则C点坐标为（4，），
25
105
∵y3∥y2， ∴k3＝k2=，
把C（4，）代入y3=x+b2得=
2
2
5
5
65
56
56×4+b2，
解得b2=−6， ∴y3=6x−6；
（3）﹣3＜x＜0或x＞4．
第19页（共23页）
5
55
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
̂=𝐵𝐶̂，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，𝐴𝐶使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB＝2，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC， ̂=𝐵𝐶̂， ∵AB是⊙O的直径，𝐴𝐶∴∠BOC＝90°， ∵E是OB的中点， ∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中， 𝑂𝐸=𝐵𝐸
∵{∠𝑂𝐸𝐶=∠𝐵𝐸𝐹， 𝐶𝐸=𝐸𝐹∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF＝∠COE＝90°， ∴直线BF是⊙O的切线；
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（2）解：∵OB＝OC＝2， 由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF＝OC＝2，
∴AF=√𝐴𝐵2+𝐵𝐹2=√42+22=2√5， ∴S△ABF=𝐴𝐵⋅𝐵𝐹=𝐴𝐹⋅𝐵𝐷， 4×2＝2√5•BD， ∴BD=5．
4√51212
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：𝑦=4𝑥+𝑚与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线𝑦=2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
1
3
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点
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A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
【解答】解：（1）∵直线l：y=4x+m经过点B（0，﹣1）， ∴m＝﹣1，
∴直线l的解析式为y=4x﹣1， ∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n）， ∴n=4×4﹣1＝2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
12
×4+4𝑏+𝑐=2， ∴{21
23
343
3
𝑐=−1
5𝑏=−解得{4， 𝑐=−1
∴抛物线的解析式为y=2x2−4x﹣1；
（2）令y＝0，则x﹣1＝0，
43
15
解得x=3，
∴点A的坐标为（，0），
34
4
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB＝1，
∴AB=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=√(3)2+12=3， ∵DE∥y轴， ∴∠ABO＝∠DEF，
在矩形DFEG中，EF＝DE•cos∠DEF＝DE•DF＝DE•sin∠DEF＝DE•
𝑂𝐴𝐴𝐵
𝑂𝐵𝐴𝐵
45
4
3=DE，
5
3
=DE，
53
14
4
∴p＝2（DF+EF）＝2（+）DE=5DE，
55∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
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4
∴D（t，t2−t﹣1），E（t，t﹣1），
2
4
1
5
43
∴DE＝（t﹣1）﹣（t2−4t﹣1）=−2t2+2t，
4
2
31
51
∴p=5×（−2t2+2t）=−5t2+5t， ∵p=−（t﹣2）2+
75287
，且−＜0， 55285
141728
∴当t＝2时，p有最大值；
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°， ∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
12515
∴x−x﹣1=（x+1）2−（x+1）﹣1，
4242
解得x=4，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
34
3
∴x2−x﹣1=（x+1）2−（x+1）﹣1+，
2
1
54125443解得x=−12，
综上所述，点A1的横坐标为或−
43
7． 127
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