等差数列性质
1.等差数列的定义式：anan1d（d为常数）（n2）；2．等差数列通项公式：
ana1(n1)ddna1d(nN)，首项:a1，公差:d，末项:an
推广：anam(nm)d．从而dn；
3．等差中项
（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A
或2Aab2
（2）等差中项：数列
是等差数列
2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan24．等差数列的前n项和公式：
n(a1an)n(n1)d1Snna1dn2(a1d)nAn2Bn
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项
2n1a1a2n1S2n12n1an1（项数为奇数的等差数
列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列．
（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．
⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列
等差中项性质法：2anan-1an1(n2，nN)．
7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项ana1(n1)d
②奇数个数成等差，可设为，a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；
a3d,ad,ad,a3d,③偶数个数成等差，可设为，（注
意；公差为2d）
8.等差数列的性质：（1）当公差d0时，
等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；
n(n1)dd
dn2(a1)n是关于n的二次函数前n和Snna1
且常数项为0.
（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。
（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当
mn2p时，则有aman2ap.
注：a1ana2an1a3an2，
（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列
(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列
（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列
（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和
当项数为偶数2n时，
S奇a1a3a5a2n1
na1a2n1
nan2na2a2n
S偶a2a4a6a2nnan1
S偶S奇nan1nannan1annd
nan1an1
S奇nanan
当项数为奇数2n1时，则S偶
nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1
SSaSnaS奇n1n+1n+1奇偶偶
（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{an}{bn}的前n和分别为An、Bn，且nf(n)，
a(2n1)anA2n1则nf(2n1).bn(2n1)bnB2n1
（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前
m+n项和Smnmn
anm,amn,则anm0(10)求Sn的最值
法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和
即当a10，d0，由n可得Sn达到最大值时的n值．
an10
（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。
即当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值．
a0n1
或求an中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．