第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结
一、基本知识点总结比较项目定义
等差数列
之后的每一项都
等比数列
自第一项起,
之后的每一项都
补充
等比数列公差可以为0,
等比数列可为0每一项与公比均不
自第一项起,
与前一项相减为定值的数列与前一项相比为定值的数列
通项公式
a1为首项，d为公差则an=a1+(n-1)dSn为前n项和，则an=Sn-Sn（-1n≥2）
d＜0，递减数列；
a1为首项，q为公比则an=a1?q
n-1
Sn为前n项和，则an=Sn-Sn（-1n≥2）
，递减数列，q=1,常数数列，a1＜0，q＞1，递减数列.a1＞0，0＜q＜1，递增数列；q＜0，摆动数列；a1＜0，a1＞0，q＞10＜q＜1，递增数列；
增减
性质中项公式
d=0,常数数列；d＞0，递增数列；
设数A、G、B为等差数列，那么G=
A+B2
,推广2an=an-m+an+m
设数A、G、B为等比数列，
那么G=±AB（AB＞0），推广an=an-m?an+m
2
求和
公式
Sn=
n(a1+an)
2
=na1+
n(n-1)2
d=
d
n+(a1-)n22
2
d
Sn=na1(q=1),
a1(1-q)a1-anq
Sn==(q≠1)
1-q1-q
n
性质
二、常用结论归纳1.设Sn、Tn分别为等差数列
{a}{、b}的前n项和，那么有
n
n
anbn
=
S2n-1T2n-1
2.常见的数列前n项和公式
3.裂项相消法的运用公式：
举例：求数列an=
1
1
1
1n(n+1)
的前n项和Sn=1-1
1
1n+11
,方法是
1n(n+1)
裂项为
1nn+1-1,
111111111
则+++...++=1-+-+-+...+-+-=1-1?22?33?4(n-1)nn(n+1)22334n-1nnn+1n+1受此启发：我们可以得（1）an=
k
(An+B)(An+C)
到形如an==
k
k
(An+B)(An+C)1
1
的数列裂项公式：
（）-,继而求和
C-BAn+BAn+C
1111AA11
(2)等差数列：=(-)..............................(3)分式数列：=(-)
an?an+12danan+2n(n+k)knn+k111
）(4)三重分式：=（-n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(5)根式数列：(6)对数形式：lg
1n+n+knn+k
=1k
(n+k-n)
1
=lg(n+k)-lgn....................（..7）阶乘数列：n?n!=(n+1)!-n!
(8)三角函数形式：tanα-tanβ=tan(α-β)(1-tanαtanβ)
4.构造法求数列通项公式（数量众多, 此处仅为举例）
可设an+1+k=p(an+k),
p=2,q=1,k=1,
(1)构造等比数列：形如an+1=pan+q的数列, 其中k=
qp-1
, 那
么{an+k}是公比为q的等比数列；举例an+1=2an+1, 则{an+1}为公比为2的等比数列.
(2)构造等差数列：形如an+1=pan+q?p的数列,
an+1p
n
则an+1+1=2(an+1),
n
可以等式左右两边同时除以
p得
n
an+1p
n
=
anp
n-1
+q,
故
-
anp
n-1
=q, 故数列
anp
n
是公差为q的等差数列.
5.累加法与累乘法举例：
（2）累乘法：每个是式子都写出来, 举例：已知数列{an}满足
anan
1
全部乘起来,
2),
ananan1an
最后把相同的消除.
n1(n求该数列通项公式
12
每个都写出来, 依次乘起来得（1）累加法：左边加左边, 右最后把左右相同部分消除.
an
L
a3
a2a2
[n(n1)L
43]a2
n!a2.2
到：
边加右边, 求数列{an}的通
举例：已知数列{an}满足an
1
an2n1，a1
1,
项公式。
S{2n+1}表示数列2n+1的前n项和