一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A．3cm，4cm，8cm
B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ） A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
8．下列说法错误的是（ ）
A．已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点 C．腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D．点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= °．
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若BE+CF=20，则EF= ．
12．在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，将△ABC沿MH翻折，使顶点A与顶点B重合，已知AH=6，则BC等于 ．
13．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等．
三、解答题（本题8小题，）
16．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，（其中点B，F，C，E在同一条直线上）．并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．
①请你写出所有的真命题；
②选一个给予证明．你选择的题设： ；结论： ．（均填写序号）
17．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
19．某中学八年级（1）班数学课外兴趣小组在探究：“n边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 多边形对角线的总条数 … 4 5 6 7 8 … … （1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n边形的一个顶点出发
可引的对角线条数为 ，n边形对角线的总条数为 ．
（3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 20．如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，重合部分为△EBD． （1）求证：△EBD为等腰三角形． （2）图中有哪些全等三角形？
（3）若AB=6，BC=8，求△DC′E的周长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE是中线，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是多少？
22．如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC． （1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC． （2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB﹣AC=？
23．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
①填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB、AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
2016-2017学年河南省周口市扶沟县八年级（上）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A．3cm，4cm，8cm
B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意； B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意． 故选D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B．
3．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论． 【解答】解：∵四边形的内角和等于a， ∴a=（4﹣2）•180°=360°． ∵五边形的外角和等于b， ∴b=360°， ∴a=b． 故选B．
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间 【考点】三角形的稳定性．
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选B．
5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的判定．
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得． 【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； ∴在△OCP和△ODP中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）． 故选：D．
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选：B．
7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
【考点】等腰直角三角形；方向角．
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答． 【解答】解：根据题意， ∠1=∠2=30°， ∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°﹣30°=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵BC=50×0.5=25， ∴AC=BC=25（海里）． 故选D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点 C．腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D．点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】利用等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【解答】解：A、SSA不能确定两个三角形全等，题干的说法错误；
B、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点的说法正确； C、根据SAS可知，腰长相等的两个等腰直角三角形全等的说法正确； D、点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）的说法正确． 故选：A．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长． 【解答】解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10
10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= 20 °．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．
【解答】解：∵直尺的两边平行， ∴∠2=∠4=50°， 又∵∠1=30°， ∴∠3=∠4﹣∠1=20°． 故答案为：20．
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若BE+CF=20，则EF= 20 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长． 【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB， ∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB， ∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB， ∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC， EF=DE+DF=BE+FC=20． 故答案为：20
12．在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，将△ABC沿MH翻折，使顶点A与顶点B重合，已知AH=6，则BC等于 3 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质得到HB=HA，根据三角形的外角的性质得到∠CHB=30°，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接BH， 由折叠的性质可知，HB=HA=6， ∴∠HAB=∠HBA=15°， ∴∠CHB=30°， ∴BC=BH=3， 故答案为：3．
13．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为 10 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，
∵点D在直线MN上， ∴DC=DB，
∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， ∵AB=6，AC=4， ∴△ACD的周长为10． 故答案为10．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 4 ．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小， ∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°， ∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC， ∴AD=DP，又AD=4， ∴DP=4． 故答案为：4．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别
在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP= 6cm或12cm 时，才能使△ABC和△APQ全等．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合． 【解答】解：∵PQ=AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP=BC时，△ABC≌△QPA，即AP=BC=6cm； ②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP=AC=12cm； 故答案为：6cm或12cm．
三、解答题（本题8小题，）
16．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，（其中点B，F，C，E在同一条直线上）．并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题． ①请你写出所有的真命题；
②选一个给予证明．你选择的题设： ①③④ ；结论： ② ．（均填写序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理．
【分析】①有三种情况是真命题：情况一：由AAS证明△ABC≌△DEF，得出对应边相等BC=EF，即可得出BF=EC；
情况二：先证BC=EF，由SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出∠1=∠2； 情况三：先证出BC=EF，再由ASA证明△ABC≌△DEF，即可得出AB=DE； ②先证BC=EF，由SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出∠1=∠2．
【解答】解：①情况一：题设：①②④；结论：③； 情况二：题设①③④；结论：②； 情况三：题设②③④；结论：①． ②选择的题设：①③④；结论：②； 理由：：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠1=∠2；
故答案为：①③④；②．
17．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据题意可得∠AEC=∠BFD=90°，AC=BD，再根据平行线的性质可得∠A=∠B，然后再利用AAS判定△AEC≌△BFD，进而可得CE=DF． 【解答】解：C，D两地到路段AB的距离相等， 理由：∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC=∠BFD=90°， ∵AC∥BD， ∴∠A=∠B， 在△AEC和△BFD中
，
∴△AEC≌△BFD（AAS）， ∴CE=DF，
∴C，D两地到路段AB的距离相等．
18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）从三角形各顶点向DE引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接； （2）根据两点之间线段最短，连接B1C即可；
（3）利用轴对称图形的性质可作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：如图所示： （1）△A1B1C1即为所求．
（2）连接B1C与直线DE的交点P即为所求．
（3）作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求．
19．某中学八年级（1）班数学课外兴趣小组在探究：“n边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 … 4 1 5 2 6 3 7 4 8 5 … … （1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n边形的一个顶点出发可引的对角线条数为 （n﹣3）） ，n边形对角线的总条数为 （3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【考点】多边形的对角线．
【分析】（1）根据多边形的性质，可得答案； （2）根据多边形的对角线，可得答案； （3）根据多边形的对角线，可得答案． 【解答】解：
多边形的边数 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 … 4 1 5 2 6 3 7 4 8 5 … … （n≥3） ．
（1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n边形的一个顶点出发
可引的对角线条数为 （n﹣3）），n边形对角线的总条数为 （3）
20．如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，重合部分为△EBD． （1）求证：△EBD为等腰三角形． （2）图中有哪些全等三角形？
（3）若AB=6，BC=8，求△DC′E的周长．
=
=35次，
（n≥3）．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定解答即可； （3）根据三角形周长即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAE=∠DCE，AB=CD， 在△AEB和△CED中，
，
∴△AEB≌△CED（AAS）， ∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形．
（2）全等三角形有：△EAB≌△EC'D；△ABD≌△CDB；△CDB≌△C'DB；△ABD≌△C'DB； （3）△DC′E的周长=C'D+C'E+ED=AB+AE+ED=AB+AD=6+8=14．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE是中线，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是多少？
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，可得△ABC的形状，再根据△ABC的周长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE是中线，可得CE的长，∠EBC=30°，根据CD=CE，可得∠D=∠CED，根据∠ACB=60°，可得∠D，根据∠D与∠EBC，可得BE与DE的关系，可得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵△ABC的周长是24， ∴AB=AC=BC=8， ∵BE是中线，
∴CE=AC=4，∠EBC=∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠D=∠CED，
∵∠ACB是△CDE的一个外角， ∴∠D+∠CED=∠ACB=60° ∴∠D=30°， ∴∠D=∠EBC， ∴BE=DE=a，
∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12．
22．如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC． （1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC． （2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB﹣AC=？
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）证明△DFC≌△DEB即可．
（2）先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD与EB的关系即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，∴△DFC≌△DEB， ∴DC=DB．
（2）解：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，∴△DFC≌△DEB， ∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，∴△ADF≌△ADE， ∴AF=AE，
∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=2， ∴BE=1，
， ， ，
∴AB﹣AC=2．
23．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．
①填空：当点A位于 CB的延长线上 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 a+b （用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB、AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，可得当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b；
（2）①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根据全等三角形的性质可得CD=BE；
②根据全等三角形的性质可得，线段BE长的最大值=线段CD长的最大值，而当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，此时CD=3+1=4，可得BE=4． 【解答】解：（1）如图1，∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b． 故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE．
理由：如图2，∵等边三角形ABD和等边三角形ACE， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC， 即∠CAD=∠EAB， 在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴CD=BE；
②线段BE长的最大值为4．
理由：∵线段BE长的最大值=线段CD长的最大值， ∴当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， 此时CD=3+1=4， ∴BE=4．
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