中点弦问题

角度1 利用中点弦确定直线或曲线的方程

x2y2

过椭圆16＋4＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所

在直线的方程是( B )

A．4x＋3y－13＝0 C．4x－3y＋5＝0

由于A，B两点均在椭圆上，

222

x2y1x2y21

故16＋4＝1，16＋4＝1，

B．3x＋4y－13＝0 D．3x－4y＋5＝0

解析：设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2

两式相减得＋＝0. 1∵P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

y1－y233故kAB＝＝－4，直线AB的方程为y－1＝－4(x－3)，

x1－x2即3x＋4y－13＝0，故选B.

角度2 利用中点弦解决对称问题

x22

已知椭圆2＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y

166 . ＝mx＋2对称．则实数m的取值范围是－∞，－∪，＋∞33

1

解析：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－mx＋b.

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由1y＝－mx＋b

2x2＋y2＝1，

1122b

消去y，得2＋m2x－mx＋b2－1＝0.



1x22

因为直线y＝－mx＋b与椭圆2＋y＝1有两个不同的交点， 4

所以Δ＝－2b＋2＋m2＞0.①

2

2mbm2b1

，将线段AB中点m2＋2m2＋2代入直线方程y＝mx＋2，解得b

m2＋2

＝－2m2.②

66

由①②得m＜－3或m＞3.

66故m的取值范围为－∞，－∪，＋∞. 33

处理中点弦问题的常用求解方法

1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．

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x2y2

(1)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( D )

x2y2

A.45＋36＝1 x2y2

C.27＋18＝1

x2y2

B.36＋27＝1 x2y2

D.18＋9＝1

22x1y2x2y212

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a2＋b2＝1，a2＋b2＝1，两式作

y1－y2b2x1＋x2y1－y20－－11

差并化简变形得＝－2，而＝＝2，x1＋x2

x1－x2ay1＋y2x1－x23－1＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，

又因为a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9. x2y2

所以E的方程为18＋9＝1.故选D.

x22

(2)如图，已知椭圆2＋y＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂

1

直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是－2，0.





x22

解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入2＋y＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，

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4k212k2

则x1＋x2＝－2，x＝(x＋x)＝－2，y＝k(x0＋1)＝

2k＋102122k＋10

k

， 2k2＋1

1

所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－k(x－x0)． 2k2k2k21

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2＋2＝－2＝－2＋

2k＋12k＋12k＋11

. 4k2＋2

11

因为k≠0，所以－2＜xG＜0，所以点G横坐标的取值范围为－2，0.



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