上饶县中学2020届高一年级下学期期末考试
数 学 试 卷（理）
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若角的终边经过点A. C. 【答案】A 【解析】
由点P的坐标计算可得：
，
本题选择A选项.
点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)． 2.若向量，满足：
，
，
，则
（ ）
，
，则： .
B. D.
，则（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量垂直的性质直接求解． 【详解】∵向量，满足：
，
，
，
∴，
解得=．
- 1 -
故选：B．
【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 3.圆
与直线
的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 直线过圆心 【答案】A 【解析】 圆圆心到直线
的圆心为：即
，半径为：1 的距离为：
.
所以直线与圆相交. 故选A.
4.在平面直角坐标系中，角以O𝘺始边，OP为终边，若
是圆
上的四段弧（如图），点P在其中一段上，，则P所在的圆弧是
A. C.
B. D.
【答案】C 【解析】
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段线.
为余弦线，有向线段
为正弦线，有向线段
为正切
- 2 -
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在
上时，
，故B选项错误；
C选项：当点在
上时，
，故C选项正确；
D选项：点在综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到5.将函数A. 在区间C. 在区间【答案】A 【解析】 【分析】
将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．
【详解】将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，
所对应的三角函数线进行比较.
的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 上单调递增 B. 在区间上单调递增 D. 在区间
上单调递减 上单调递减
上且
在第三象限，
，故D选项错误.
，
，
，
，
- 3 -
增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤减区间满足：+2kπ≤2x≤
，k∈Z， ，k∈Z，
∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z， 减区间为[+kπ，+kπ],k∈Z，
∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数在区间故答案为：A．
【点睛】（1）本题主要考查三角函数的图像的变换，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求函数
的单调区间,
上单调递增．
首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
6.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】
在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
- 4 -
【详解】如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4， 在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=可得：矢=4﹣2=2， 由AD=AO•sin=4×=2， 可得：弦=2AD=2×2=4，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4故答案为：B．
≈9平方米． ，
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，考查学生对新的定义的理解，
意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 7.【2018年全国卷Ⅲ文】函数A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:将函数
进行化简即可
的最小正周期为
详解：由已知得
的最小正周期故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 8.设为等差数列A.
B.
的前项和，若 C. D.
，
，则
【答案】B 【解析】
- 5 -
分析：首先设出等差数列关系式，从而求得结果而求得正确结果.
的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量，之后应用等差数列的通项公式求得
，从
详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得整理解得
，所以
，故选B.
，
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与
的关系，从而求得结果.
中，已知两圆
和
，又点坐标为
，
9.在平面直角坐标系
是上的动点，为上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个． 【详解】如图所示，任取圆C2上一点Q， 以AQ为直径画圆， 交圆C1与M、N两点，
则由圆的对称性知，MN=AQ，且∠AMQ=∠ANQ=90°， ∴四边形AMQN是矩形，
由作图知，四边形AMQN能构成无数个矩形．
- 6 -
故答案为：D.
【点睛】(1)本题主要考查圆和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是“以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点”，这样可以得到无数个矩形. 10.直线
分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆
上，则
面积
的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
分析：先求出A，B两点坐标得到面积公式计算即可 详解：直线点P在圆到直线
分别与轴，轴交于，两点，上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离的距离的范围为
，则
,则
，，故点P
，故答案选A.
再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。 11.已知则A.
是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，
的最小值是 B.
C. 2 D.
- 7 -
【答案】A 【解析】 分析:先确定向量求最小值. 详解：设由
的距离
得
减去半径1，为
选A.
，则由
得
因此
的最小值为圆心
， 到直线
所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 12.已知数列
中，
.若对于任意的
恒成立，则实数的取值范围为
A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）=an+1，可得以及放缩法可得
，利用迭代法和裂项求和，
B. D.
，不等式
＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成
2
2
立，构造函数f（a）=2t+（a+1）t﹣a+a，t∈[0，1]，可得【详解】根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）=an+1， ∴nan+1﹣（n+1）an=1， ∴∴=（∵
，解得即可.
，
=（
﹣）+（﹣
）+…+（a2﹣a1）+a1，
＜3，
）+（）+…+（1﹣）+2=3﹣
＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，
- 8 -
∴3≤﹣2t﹣（a+1）t+a﹣a+3
∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立， 设f（t）=2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]， ∴即
，
，
22
解得a≤﹣1或a≥3， 故答案为：C．
【点睛】（1）本题主要考查数列累加法求和，考查二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是累加法求和得到
.
二、填空题（每小5分，满分20分）
13.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】【解析】
分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 详解：设圆的方程为
，解得：
，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： ，则圆的方程为
.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式． 14.已知【答案】【解析】 【分析】
且
．求_________.
- 9 -
先求出sin【详解】因为
，
所以故答案为：
.
.
【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到双解. 15.设点O为
的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且 ．
【答案】6 【解析】 试题分析：∵点∴∴
考点：向量的模．
【思路点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义；首先，根据向量的加法法则（三角形法则），用
与
16.对于任一实数序列
，假定序列
【答案】1000 【解析】 依题意知
是公差为的等差数列,设其首项为,通项为,则
,于是.由于
表示出
，然后再，根据用的关系，据此即可求出结果．
，定义
的所有项都是，且
为序列
，则
，它的第项是_________． 表示出
取寻找
分别为边，．
的中点，∴
，∴
，
，
， ，则，否则会出现
- 10 -
,即
.
,解得.故
【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的:对于对于一个给定的数列，把它的连续两项如果
与的差
记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列，
常数，则的二阶等差数列.用累加法求得数列的通项公式.
三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.)
17.已知角的终边经过点（1）求
的值；
.
（2）求的值.
【答案】(1)；(2)【解析】
.
试题分析：因为角终边经过点
，
（1）
. 即得解；
，设，，则，所以，
（2）化简 即可得解.
试题解析： 因为角终边经过点所以（1）
，
，设，
，
，则.
，
（2）
- 11 -
18.已知数列直线（1）求数列（2）记
的前项和为，且上． ，
的通项公式；
，求.
，在数列中，，点在
【答案】（1）an＝2n，bn＝2n－1；（2）Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6. 【解析】 【分析】
(1)利用项和公式求数列位相减法求.
【详解】(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)， 两式相减得an＝2an－2an－1，即 又a1＝2a1－2，∴a1＝2，
∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2.
∵点P(bn，bn＋1)在直线 x－y＋2＝0上，∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是以2为公差的等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1. (2)∵Tn＝1×2＋3×2＋5×2＋…＋(2n－3)2
2
3
的通项，再利用等差数列的通项求数列的通项公式.(2)利用错
＝2(n≥2)，
nn－1
＋(2n－1)2①
n ∴2Tn＝ 1×22＋3×23＋5×24＋… ＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1 ② ①－②得：
－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1 ＝2＋2·
－(2n－1)2
n＋1
n＋1
＝2＋4·2－8－(2n－1)2
nn＋1
＝(3－2n)·2
n＋1
－6
∴Tn＝(2n－3)·2＋6.
【点睛】（1）本题主要考查项和公式求通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若比数列，令
两式错位相减并化简整理即得. 19.如图，已知圆的方程为设
，其中,则
是等差数列，是公比为等
，过点为定值．
的直线与圆交于点，与轴交于点，
，求证：
- 12 -
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
先讨论当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合，从而λ=2，μ=，λ+μ=；在讨论AB存在斜率时，：
=.
【详解】证明：当AB与x轴垂直时，此时点Q与点O重合， 从而λ=2，μ=，λ+μ=；
当点Q与点O不重合时，直线AB的斜率存在； 设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则Q（﹣，0）；
由题设，得x1+=λx1，x2+=μx2， 即λ=1+
，μ=1+
；
所以λ+μ=（1+）+（1+）=2+；
将y=kx+1代入x2+y2=4，得（1+k2）x2+2kx﹣3=0， 则△＞0，x1+x2=﹣
，x1x2=﹣
，
所以λ+μ=2+；
综上，λ+μ为定值．
【点睛】(1)本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的坐标运算和韦达定理，意在
- 13 -
考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键是将y=kx+1代入x2+y2=4，得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，得到韦达定理. 20.【2018年文北京卷】已知函数（Ⅰ）求（Ⅱ）若
的最小正周期； 在区间
上的最大值为，求的最小值.
.
【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）. 【解析】 分析：（1）将根据详解： （Ⅰ）所以
的最小正周期为
. .
.
在
上的最大值为1.
，
化简整理成，可求
的形式，利用公式
可求最小正周期；（2）
的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为要使得所以
在
，即，所以
上的最大值为，即
.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 21.如图，在
中，
，
的平分线
交
于点，设
，其中是直线
的倾斜角．
（1）求的大小；
- 14 -
（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由
，得
，求的最小值及取得最小值时的的值．
；（2）当x=0或x=时，f（x）取得最小值=0.
，又，进而得到
，得在
上单调递增，在
，即可求解.
上单调递减，
（2）由（1）可化简即可求解. 【详解】由题可知
，所以
， 又
所以
由（1）可知因为且
，所以
，因为
或
在时，
上单调递增，在取得最小值为0.
上单调递减，
所以当
【点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典，解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 22.已知数列（1）求（2）若①求证：数列②求满足
满足的值；
．
为等差数列；
的所有数对
．
，数列
的前项和为．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②（10，4）. 【解析】 【分析】
- 15 -
(1)给中的n取值n=1,2,即得的值.(2) ①根据已知得到，再代入
得到的
a2n=n+，所以数列{a2n}为等差数列，公差为1．②先求出（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，分析得到所有数对
．
，可得：
，从而得到满足
【详解】（1）由，可得a1+a3=．
（2）①∵∴1=
，∴a2n﹣a2n﹣1=，a2n+1+a2n=，可得a2n+1+a2n﹣1=．
=（a1+a3）+（a3+a5）=4a3，解得a3=，∴a1=．
=……=（﹣1）n﹣1
=0，解得a2n﹣1=，
∴a2n﹣1﹣=﹣可得a2n=n+．
∴数列{a2n}为等差数列，公差为1． ②由①可得：a2n+1=a1， ∴S2n=a1+a2+……+a2n
=（a2+a3）+（a4+a5）+……+（a2n+a2n+1） =
．
由满足，可得：+3p=4，
化为：（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，
∵m，p∈N，可得2m+p+9≥12，且2m+p+9，2m﹣p+3都为正整数， ∴
，解得p=10，m=4．
*
故所求的数对为（10，4）．
【点睛】（1）本题主要考查累加法求通项，考查数列性质的证明和求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键由两处，其一是分析推理得到a2n=n+，其二是求出
.
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