三心

天津四中：刘晖

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）OAOBOC0O是ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1x)(x2x)(x3x)0(y1y)(y2y)(y3y)0x1x2x3x3yy1y2y33OAOBOC0

O是ABC的重心.

证法2：如图

OAOBOCA

OEOA2OD0

A、O、D三点共线，且O分AD 为2：1

O是ABC的重心

AO2ODBDC（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

AEO同理OABC，OCAB

O为ABC的垂心

BDC

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.

证明：ABACAC方向上的单位向量， 、分别为AB、cbABcACb平分BAC,

ABcACbAO()，令bcabc

AObcabc（

ABcACb)

化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4）OAOBOC

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC)，0,O为ABC的外心。

 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.

ABAC2AD

AEOPOA2AD

BDCOPOAAP AP2AD

AP//AD 点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABABACAC0,)， ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ B ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：ABABABAB、ACACAC方向上的单位向量， 分别为AB、ACAC平分BAC,

点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABABcosBACACcosC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的

（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. A(ABABcosBABBCABcosBACACcosCACBCACcosCACBCcosCABcosBACcosC)BC

E= BDCABBCcosB= =BC+BC=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.

练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（ ）

A．2 B．

32 C．3 D．6

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB( ) A．

12 B．0 C．1 D．12

3．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形

ABOC面积之比是（ ） A．0 B．

32 C．

54 D．

43

4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA222222BCOB

CAOCAB，则O是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6．两条边上的高的交点为H， ABC的外接圆的圆心为O，OHm(OAOBOC)，

则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若ABABC为（ ）

2ABACABCBBCCA，则

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C