几何证明大揭秘!定力推荐!!

圆的几何定理

sinA=L/D,圆周角恒等于所对弦长与直径之比的反正弦值。

如直径为等腰三角形的一条腰，则经过圆心与（底边和圆交点）的直线平行另一条腰。也可称为\"平行径定理“。

四边形共圆，则延长线交角之和等于延长线所夹四边形内角与对角之差，且有延长线交角对应线段成比例。

延长线交角之和等于延长线所夹四边形内角与对角之差，则四边形共圆。

“三边合一”，圆中任一弦，是圆半径为腰的等腰三角形的底边，也是直径为斜边的所在直角三角形的直角边，还可是圆中两个相似三角形的共用底边（公共边）。即圆中的弦，（直角边，相似边，等腰底边（“三边合一”）。

“三角合一”，两个同弧圆周角+2个直角组成相似或两个同弧圆周角+相交弦对顶角组成相似，即圆周角、直角、相交角“三角合一”

“三角再合一”，弦切角（园外角）、圆周角、圆内角（等于与之不相邻的2个内角和）相互 转换

“三切合一”，切线定理、切线长定理、弦切角 三切 》》》》》推论：证明

找到、发现题中或构造出某个角或边同时具备两种属性！！！！！找到2个三角形重叠处公共边

如：

几何思维图

分散的边/角的“搬迁位移” 平移？旋转？翻折？ 分散的边/角的 ’集中统一”

等量代换

．(7分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P. （1）求证：PC是⊙O的切线. （2）若AF=1，OA=22，求PC的长.

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

（2）若KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=

352 直角？等腰？相似？ ，AK=23，求FG的长．

如图10，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经

过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。 （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

23．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G． （1）求证：AE•FD=AF•EC； （2）求证：FC=FB；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

25．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2

，sin∠BCP=

，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

7．（2012•乐山）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G． （1）求证：OF•DE=OE•2OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

24．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP． （1）BD=DC吗？说明理由； （2）求∠BOP的度数； （3）求证：CP是⊙O的切线；

25．（12分）（2012•自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

几何模型！！《几何证明选讲>>

A A D O

B

C B

C

D

母子形相似（大小等腰相似） 漏斗形相似

AB=BC,AD=AC,求证：AC2=DC.BC 梯形ABCD中，AD∥BC,AO=2，AC=8，SΔBDC=6 易证 求AOD面积=？ 解法：

设SΔAOD=X，根据相似三角形面积比=相似比平方，同高不同底三角形面积比=底边比

用比例法和列方程法求面积。SΔAOD/SΔBOC=[2/(8-2)]=1/9; SΔAOD/SΔODC=2/6

2

SΔBOC+SΔODC=9X+3X=6，X=1/2

如图，右下方图k-1所示：ABCD为矩形，AB=a, BC=b, AH垂直BH，Q为CD中点，BH=?

解析：

设BH=X，连接BQ, 利用等积代换，SΔABQ=1/2×ab=1/2× AQXBH， ADQ中， AQ=(a/2)+(b) AQ=

(a2)2b2 BH=ab/

2

2

2

(a2)2b2

对于直角三角形求面积或线段长问题，除考虑相似外，往往利用直角特殊性，用面积法比相似更简单，注意这时不要走相似路线，误入歧途。

N Q H M C

D Q b

A A a B

B 图w C 图k-1

圆规形或燕尾形相似（金字塔与漏斗混合型）

图w, 三角形ABC中，AD是中线，M是AD中点，AB=24，AN=?

解：①过N做NQ∥BD，设AN=X，有AN/AB=NQ/BD=X/24=NQ/DC(BD=DC)=QM/MD AQ/AD=X/24=AQ/2AM AQ/AM=X/12 ②AQ/(AQ+QM)=X/12 根据 (a/b=c/d, a+b/b=c+d/d)变形为分母不变形，取倒数

(AQ+QM)/AQ=12/X, 1+QM/AQ=12/X , QM/AQ=(12/X)-1=(12-X)/ X ③ (根据a+b/b=c+d/d, 则a/b=c/d ) QM/AQ=(12-X)/X 有QM/(AQ+QM)=(12-X)/(12-X +X)=（12-X）/12

QM/AQ= (12-X)/12 ， QM/DM=X/24 ， AQ=MD (12-X)/12=X/24 3X=24. AN= X=8

如果a/b=c/d=k, 则有合比定理 abcd, 分比定理

bd

abbcdd

合分比定理

abcdU1U2U1I1I1I2ΔUU1U2U2U1U2应用：串联电路 R==, =, = ,===R

U2I1I2I1I2U2I2I2ΔII2

abcd

双垂足模型组合三垂足模型

A O D B

C

直角梯形中，∠D≡∠C≡90°AC⊥BD交于O,DC=2，BC=4，AD=??(经典好题)

解析：①识别出ΔDCB为双垂足模型，ΔAOD∽ΔOBC漏斗相似形 ②DC=2，BC=4，知二可求四，其它四条边 ③求出OD、OB ④DO/OB=DC/BC=1/4=AD/BC ⑤1/4=AD/4，AD=1 A

B D M C

双垂足模型(十大结论必需会)

2

结论：一、母亲，大儿子，小儿子，两两相似 ，共三组。二、正射影定理：AD=BD×CD 三、斜射影定理：①AB=BD×BC, ②AC=CD×BC 四、斜射影推论：①/② 射影比

BD/DC=AB2/AC2 五、逆定理，AD2=BD×CD,则有角A=90度 六、其中六条线段，知二必可得四，”知二求四” 七、勾股定理 八、等积变换 BC×AD=AB×AC 九、1/AD2=1/AB2+AC2 十、c/2=Mc, 即斜边一半都等于斜边中线，三线相等，AM=BM=MC,∆AMC和∆AMB等腰

相切圆中相似图

双漏斗叠加模型

正方形ABCD中，O是对角线AD上一点，DO延长线交AB于E，交BC延长线于F， 若OE=3，EF=9，则OD等于多少？？

A

2

2

2

2

A D

E O F

B

C

2

1

B

D F 3

E

4

已知 角1=角2，角3=角4，求证：BD.AC=AB.CE

旋转型相似模型粉色旋转至蓝色三角形，且有旋转角相等，对应边成比例，组成相似并得到新相似（红底），ADB∽AEC.

A

C

H

B 三垂足模型 D

三垂足变形

A D

P H 直角旋转相似模型

B Q

C

P、Q是正四边形ABCD中，AB、BC上的点，HD⊥HQ ,垂足为H, 且BH⊥PH，证明（1）BQ/DC=BH/CH (2) BP=BQ

重大发现！！！ 所求两个相似三角必有一个公共交点。反之，有公共交点的两个三角形基本必相似，如果符合相似模型就是所要求证的两个相似三角形。

几何证明万能解题秘诀！！

第一步，找出图中众多三角形中有公共点或公共边的一组三角形（有时两组，用到两次相似） 侦测到相似三角形，再进一步看看是否符合相似三角形模型

第二部，结合已知条件进行等量代换（必要时通过做辅助线：轴对称图形做对称轴或将线段和图形位移换位实现,平行出比例相似，旋转出等角相似）

简称： 找点找边变换代换法--------终极妙法！！

等腰三角形必作中线，园必作直径为辅助线！

直角旋转相似模型 小正三角形中点为旋转中心即公共点 直角漏斗模型 双等腰叠放旋转型

双等腰叠放旋转型是直角旋转变例，利用三线合一

B

C

A

F 双等腰叠放旋转模型 （是直角旋转变例，利用三线合一）

ABC∽ADF

已知正三角形ABC与正三角DEF，BC和EF的中点均为M。求证AD⊥CF

A

E D B C M F

A O

A1

解：角AOB和角A1OB1分别是两个三角形外接圆的

B 左图，AA1交BB1于O，且AB=

12D

A1B1,若∆AOB

外接圆直径为1，求∆OB1A1外接圆直径=？

外周角，sinAOB=AB/ 直径D=AB, sinA1OB1=A1B1/直径D1

B1 AB=sinA1OB1=sinAOB=2×AB/D1, D1=2

A α∆∆ c 直角三角函数值和三角函数公式:sinα=cosβ Sinα2+cosα2=1

Sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ b tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanα.tanβ)

β B sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ C a tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanα.tanβ)

双垂足模型中，求证： ①

1CD21BC21AC2sinacosaSinα=a/c cosα=b/c tanα=a/b tanα==a/b

=+

 BD/DA=BC2/AC2

C

 S∆BCD/S∆ADC/S∆ABC=BC2/AC2AB2

B D A CD是树高，BC和CA分别是光线

BD和DA分别为影子长。影子，光线长，树高 关系, 面积比等于各自斜边平方之比。 解：①面积1/2×AC×BC=1 /2×AB×CD,CD=AC×BC／AB,勾股AB=

CD=AC×BC／

AC2BC2, CD2=AC2×BC2／AC2+BC2,

AC2BC2

1CD2=

1AC2+

1BC2

②斜射影，AC2=DA×AB, BC2=BD×AB, BC2／AC2=DB×AB/AD×AB=BD／DA

③面积比等于相似比的平方，相似比取对应斜边之比。即得。

下面证明面积比等于相似比平方, 对应线段（高、中线、角分线）比等于相似比。 A D B C1 B1

A1

D1

设ΔABC∽ΔA1B1C1, AC/A1C1=AB／A1B1=k ,

SΔABC=1／2×AB×CD SΔ

A1B1C1=1／2×A1B1×C1D1，SΔABC／SΔA1B1C1=AB×CD／A1BA×C1DC，易证，相似比等于对应各线段（高、中线、角分线）之比。ΔABC∽ΔA1B1C1，∠A=∠A1，sin∠A=CD/AC,sin∠A1=C1D1/A1C1，sin∠A=sin∠A1,CD/CA=C1D1/C1A1,CD／C1D1＝AC／A1C1=k

CA/A1C1=AB/A1B1=k

S

ΔABC／

S

ΔA1B1C1=AB/A1B1×

CD/C1D1=(AB/A1B1)2=AB2／(A1B1)2=k2

A D 梯形ABCD中，已知上底AD=,4，下底BC=12， 高

为6，求ABO和ADO的面积=？学会用数学的方法求几何

O 数形结合思想 解计算问题,。知某个梯形面积，其内部角分线分得的 4 个 三角形面积皆可求得！！！重要模型！！‘知一得四’ 模型 B

解：梯形面积=1/2×(4+12)×6=48,设ADO面积=X，AOD∽BOC,相似的面积比=相似比的平方，AOD/BOC=16/144=9，BOC=9X. 又因为AOB与AOD同底不同高，AOD/AOB=OD/OB=AD/BC=4/12=1/3，AOB=3X.又因为AOD与ODC同底同高，ODC=AOB=3X. 所以，X+9X+3X+3X=48,16X=46,X=3.AOB=3X=9

解关于直角三角形，或证明垂直问题，三角法‘消灭’了相似 ----三角 PK 边角边 正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，求证 AE⊥BF

FC=1/2DC,BE=1/2BC,DC=BC,FC=BE,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90

AEB≌ BCF,∠BAE=∠FCB,∠BAE+∠AEB=90 ∠FBC+∠AEB=90 ,AE⊥BF

A D

C

F

B E C

三角法，

tan∠FBC=FC/BF=1/2， tan∠BAE=BE/AB=1/2, ∠FBC=∠BAE

∠BAE=∠FCB,∠BAE+∠AEB=90 ∠FBC+∠AEB=90 ,AE⊥BF

A F D

B E C

长宽比为2：1的矩形ABCD中，E、F为长边AD和BC的中点，求证：BD⊥CF

2=2/2, tan∠ECF=EF/EC=2/

2, tan∠DBC× tan∠ECF＝1

解： tan∠DBC=DC/BC=1/

BD⊥CF。 （两线垂直，斜率之积= －1）

A B C α β γ

O

在三个并联的正方形格子中，求证：α＋β＋γ=90°（经典好题）

大斜形相似！！因为在正方形环境中，用 边角边 , ΔOAB∽OAC,∠ A 公用。 AB/OA=OA/AC=1/

2 （ 难识别，暗含比例中项，OA2 =AB×AC）

AOB=γ，OAB=135°，α＋β ＝45°

γ＝45°，α＋β＋γ＝90° 三角法：

tan(α＋β)=tanα+tanβ/(1-tanα.tanβ)=1， α＋β=45°，γ=45°，α＋β＋γ＝90°

B C K E

C

M N B N

A D A D F

已知矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=6如上图，先将矩形纸对折，得折痕MN；然后放平，再把B点叠在折痕线MN上，得折痕AE，延长EB交AD于F,

1. 求证：ΔAEF是正三角形。2. 求折痕AE的长。

解： 轴对称问题，将原形不全。作辅助线，粉色。

因为ABE由AEK翻折得来，ΔABE≌ΔAKE，BN为EC和AD中位线，EC∥AD∥BN， 分线段EF成比例，有EB=BF； 全等，得∠AKE=∠ABE=90°,且∠AEK=∠AEB三线合一，AE=AF，所以∠AEF=∠AFE. 内错，∠FEC=∠AFE. ∠FEC=∠AEB=∠AEK ，∠AEF=60 得证。三线合一，AEF的高等于CD，sin∠AEK=sin60=AK/AE, AE=23

代数几何解题锦囊大揭秘 1 猜证结合， 实现填空、选择1分钟1个 2 数形结合，几何题用代数解--华罗庚力荐 3 高等数学与初等数学结合--高中阶段

4 特殊化导路---------- 特殊值

5 类比引路 ----------- 解分类问题，排列组合、概率问题，类比日常生活问题等 6 辅助元----------------- 需满足的条件，如有根，无根 7 正难则反 [难（南）受往北走]