高考数学选择题填空题冲刺练习(含答案解析)(37)

一､单项选择题

1.已知集合Ax|xy1，By|yxA. 0,1 【答案】A 【解析】 【分析】

集合Ax|xy1是x的取值范围，By|yx22【详解】解：y1x0,1x1，By|yx222，则AB（ ）

D. 0,1

B. 0, C. 1,1

222是函数的值域，分别求出再求交集.

20,

AB1,1故选：A

0,+=0,1

【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.

2.已知复数2ai3i在复平面内对应的点在直线yx上，则实数a（ ） A. -2 【答案】C 【解析】 【分析】

化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可. 【详解】因为2ai3i6a(23a)i， 所以对应的点为6a,23a， 代入直线yx可得6a23a， 解得a1， 故选：C

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3.若logab0（a0且a1），2bA. a1，b1

2B. -1 C. 1 D. 2

b1，则（ ）

B. 0a1，b1

C. a1，0b1 【答案】B 【解析】 【分析】 先由2b2D. 0a1，0b1

b21得，bb0，又由b0，可得b1，而logab0，可得0a1

2【详解】解：因为2bb21，所以bb0，

因为b0，所以b1， 因为logab0，b1， 所以0a1， 故选：B

【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题

4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）

A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同 C. 立冬的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长短 【答案】D

【解析】 【分析】

由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中a115寸，a13135寸，公差为d寸，可求出d，利用等差数列知识即可判断各选项.

【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a115寸，a13135寸，公差为d寸，则

1351512d，

解得d10（寸），

同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1135，末项b1315，公差d10（单位都为寸）.

故选项A正确；

春分的晷长为b7，b7b16d1356075

秋分的晷长为a7，a7a16d156075，所以B正确；

立冬的晷长为a10，a10a19d1590105，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确； 立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，

a4a13d153045，b4b13d13530105， b4a4，故D错误.

故选：D

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题. 5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（ ） A. 从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B. 从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C. 从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D. 从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 【答案】C 【解析】 【分析】

若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所

有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.

【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;

同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.

分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.

(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子. 故选：C

【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题. 6.已知向量OPA. 1,3 【答案】D 【解析】 【分析】

设向量OP与x轴的夹角为，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得

2,22，将OP绕原点O逆时针旋转45到OP'的位置，则OP'（ ）

B. 3,1

C. 3,1

D. 1,3

cos,sin,cos(45),sin(45)，得到点P的坐标，进而求得OP'.

【详解】由题意，向量OP2,22，则OP10，

设向量OP与x轴的夹角为，则cos222， ,sin10102222210 22101010所以cos(45)coscos45sinsin45sin(45)sincos45cossin4522222310， 10102102可得OPcos(45)10(所以OP'(1,3). 故选：D.

10310)1，OPsin(45)103 1010【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.

7.已知函数fx对任意x,yR，都有2fxyfxfy，且f11，则

i0n1（ ） f(i)A. 2n1 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 2n1 2C. 11 2nD. 21 2n利用赋值法再结合条件，即可得答案； 【详解】由所求式子可得f(0)0，

f(0)f(0)f(0)2，

2f(1)f(1)1， 令xy1可得：f(2)22f(1)f(2)12， 令x1,y2可得：f(3)22f(2)f(2)13， 令xy2可得：f(4)22令xy0可得：f(0)

f(n)1， 2n1ni0n12i1212021f(i)i01(12n1)12n122n，

122故选：B.

【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.

8.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，设直线AB1与平面ACC1A1所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（ ） A. 2 【答案】D 【解析】

B. 2

C. 

D. 2

【分析】

分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可. 【详解】作正四棱柱ABCDA1B1C1D1如下图：

∵在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面A1B1C1D1， ∴AA1B1D1

∵底面A1B1C1D1是正方形 ∴B1D1A1C1 又∵AA1AC11A1 ∴B1D1平面A1B1C1D1

∴B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角，即B1AO= ∵CD1∥A1B

∴BA1C1是直线CD1与直线A1C1所成的角，即BAC11=

B1O，OAOB ∵A1BB1A，AO1∴△A1BO≌△B1AO ∴BAC11=AB1O ∵B1D1平面A1B1C1D1 ∴B1OOA

∴+=B1AO+AB1O故选：D

2

【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.

二､多项选择题

9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则 性别 男 女

A. 甲专业比乙专业的录取率高 C. 男生比女生的录取率高 【答案】BC 【解析】 【分析】

根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.

【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人； 甲专业的录取率为取率高. 男生的录取率为故选：BC.

【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.

10.已知函数f(x)sin(x)(0,0)，将yf(x)的图像上所有点向左平移纵坐标不变，横坐标缩短为原来的则（ ）

A. yf(x)图像关于点(个单位，然后6甲专业报考人数 100 300 乙专业报考人数 400 100

性别 男 女 甲专业录取率 乙专业录取率 25% 30% 45% 50% B. 乙专业比甲专业的录取率高 D. 女生比男生的录取率高

25901805046%，所以乙专业比甲专业的录28.75%，乙专业的录取率为

40010010030025180905041%，女生的录取率为35%，所以男生比女生的录取率高.

1004003001001，得到函数yg(x)的图像. 若g(x)为偶函数，且最小正周期为，225)单调递增 1212,0)对称 B. f(x)在(0,C. f(x)g()在(0,【答案】AC 【解析】 【分析】

x25)有且仅有3个解 4D. g(x)在(5,)有且仅有3个极大值点 124根据题意求得2，

π，进而求得gxcos4x，f(x)sin(2x)，然后对选项逐一判断即可. 66sinx， yf(x)【详解】解：将的图像上所有点向左平移个单位后变为：66然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1， 后变为：sin2x26gxsin2x. 所以6因为g(x)的最小正周期为所以gxsin4x2，所以，解得：2.

222， 3又因为g(x)为偶函数，所以因为0，所以所以gxsin4xππφkπ,kZ，所以k,kZ. 326π. 6

cos4x，f(x)sin(2x). 26对于选项A，因为f(故A正确.

)sin2()sin00，所以yf(x)图像关于点(,0)对称，1212612对于选项B，因为x(0,52x,， )时，

6612,， 6设t2x6，则ftsint,t因为ft在5,不是单调递增，所以f(x)在(0,)不单调递增，故B错误.

126x2对于选项C，g()cos2x，f(x)sin(2x5x)，画出fx,g在(0,)图像如图所示: 2

从图中可以看出：fx,g故C正确.

5x5xf(x)g()(0,)(0,)有且仅有3个解，在图像有三个交点，所以在2244对于选项D，g(x)cos4x在(5,)的图像如图所示： 124从图中可以看出g(x)在(故选：AC

【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.

11.已知抛物线y2pxp0上三点Ax1,y1，B1,2，Cx2,y2，F为抛物线的焦点，则（ ）

2A. 抛物线的准线方程为x1

B. FAFBFC0，则FA，FB，FC成等差数列 C. 若A，F，C三点共线，则y1y21

D. 若AC6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2

.

5,)有且仅有2个极大值点，故D选项错误. 124【答案】ABD 【解析】 【分析】

把点B(1,2)代入抛物线y22px即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及FAFBFC0，可得

x1x22，从而可证得FAFC2FB；由A，F，C三点共线，得

x1y1y2，结合x11x21121y1,x2y22，化简即可得到本题答案；设AC的中点为M(x0,y0)，由AFCFAC，结合44AFCFx11x212x02，即可得到本题答案.

2【详解】把点B(1,2)代入抛物线y2px，得p2，所以抛物线的准线方程为x1，故A正确；

因为A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F(1,0)，所以FA(x11,y1)，FB(0,2)，FC(x21,y2)，又由

FAFBFC0，得x1x22，

所以FAFCx11x2142FB，即FA，FB，FC成等差数列，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAFy1y2y1y2kCF，即12，所以12，化简得，x11x21y11y2144y1y24，故C不正确；

设AC的中点为M(x0,y0)，因为AFCFAC，AFCFx11x212x02，所以

2x026，得x02，

即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确. 故选：ABD

【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.

12.已知函数fx的定义域为0,，导函数为f'x，xf'xfxxlnx，且f1e1，则（ ） eA. f'0 C. 0f11 【答案】ACD

1eB. fx在x1处取得极大值 eD. fx在0,单调递增

【解析】 分析】

根据题意可设fx【即满足

1xln2xbx，根据211f求b，再求fx判断单调性求极值即可. ee【详解】∵函数fx的定义域为0,，导函数为f'x，xf'xfxxlnx

xf'xfxlnx x2xfxxf'xfx∵ 2xxfxlnx∴ xx∴可设

fx12lnxb（b为常数） x21xln2xbx 2∴fx∵f∴fx1e1121b11ln，解得b 2eeee211xln2xx 221∴f1，满足0f11

2∴C正确 ∵fx121112lnxlnx=lnx10，且仅有f'0 222e∴B错误，A、D正确 故选：ACD

【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.

三､填空题

13.x2yxy的展开式中x2y4的系数为________． 【答案】15 【解析】 【分析】

5把(xy)5按照二项式定理展开，可得(x2y)(xy)5的展开式中x2y4的系数．

5051423232341455【详解】(x2y)(xy)(x2y)C5xC5xyC5xyC5xyC5xyC5y，

315， 故它的展开式中x2y4的系数为C542C5故答案为：15．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14.已知l是平面，外的直线，给出下列三个论断，①l//；②；③l．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示） 【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）； 【解析】 【分析】

利用空间直线与平面的位置关系进行判断，l//，时，l与可能平行或者相交. 【详解】因为l//，时，l与可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③； 因为l//，所以内存在一条直线m与l平行，又l，所以m，所以可得，即①③作为条件，可以得出②；

因为，l，所以l//或者l，因为l是平面外的直线，所以l//，即即②③作为条件，可以得出①；

故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；

【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.

x2y215.已知双曲线221a0,b0过左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点，以P，Qab为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为5a，则双曲线的离心率为________． 【答案】【解析】 【分析】

首先求P,Q两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得

3 2b5，最后再求双曲线的a2离心率.

22cy【详解】设Fc,0，当xc，代人双曲线方程221，

abb2b2b2解得：y，设Pc,，Qc,

aaa根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是y则P,Q两点到渐近线的距离

bx， abcb2cbcb2c5a，

bcb2bcb2cb，上式去掉绝对值为5a，

ccb5cb23.

即，那么12a2aa2双曲线的离心率e故答案为：

3. 23 2【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.

16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E、F的连线恰好经过拐角内侧顶点O（点E、O、F在同一水平面内），设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则EF的长为________（用表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．

【答案】 (1).

278 (2). 1313 sincos【解析】 【分析】

分别计算出OE、OF，相加可得EF的长；设f最小值，即可得解.

【详解】如下图所示，过点O分别作OAAE，OBBF，则OEABOF， 在Rt△OAE中，OA27，则OE所以，EFOEOF令fOA278，同理可得OF， sinsincos278 sincos278sincos0，则

227338costan27cos8sin8sin327cos38， f2222sincossincossin2cos2.22780，利用导数求得f的sincos2

3令f00，得tan0273，得tan0，

283tan3130sin022132由sin0cos01，解得，

cos213sin00013当00时，f0；当0时，f0.

则

fminf02781313. 3132131313故答案为：

278；1313. sincos【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.