周刊
分类讨论思想在高中数学教学中的应用研究
刘许东
(成县陕西师范大学成州中学，甘肃成县742500)
摘要：分类讨论思想又名逻辑划分思想。分类讨论的思想解释是，我们先把一件事物进行系统的分类，通过探究所分的 每一类，最后得出正确结果的方法。在高中数学教学和数学题目中，广泛存在分类讨论的思想。这种方法能够更加直观的将解 题思路、解题步骤清晰的罗列出来，每一部分的解题步骤都是有章可循。但是在实际解题的环境下，学生往往想不到所有的可 能出现的情况，造成题目最后得到的结果不完全。这往往是由于学生对题目的理解不透彻，以及分类的方法不科学，导致不能 够把所有的分类情况—进行了探讨。
关键词：高中数学；分类讨论
分类讨论思想是高中众多解题思想中比较重要的一个， 因此对分类讨论思想进行分析和研究，显得十分重要。如果 教学中把注意力过度集中于知识表面的联系，没有注意到题
目的内涵，不注意对分类讨论的思想进行深入学习和理解， 往往难以取得理想的教学效果。教学中要抓住问题的根本， 发掘知识的内在联系，以此启发学生形成科学的分类思想， 才能更好的解决问题，得到更好的结果。并且分类讨论的思 想不仅仅用于解决数学学习上的问题，在实际的生活中我们 遇到问题也可以用分类讨论的思想来灵活的解决，这就可以 促进学生对于数学知识的运用能力的提升，避免使用中生搬 硬套书本上的知识。
如果教师只是一味的讲解分类讨论的思想，不去结合实 际的情况去联系解题，这样的教学也会变得过分枯燥，教条 化，学生的能力得不到提升。学生既不能学到好的思想方 法，知识技能也不能得到提高。在我们的新课程实施中，我 们不仅要注重学生思想方法和知识技能的提高，还要注意说 明蕴含在知识之中的数学思想。
一、逐步引导学生明确分类讨论的标准
分类讨论的思想就是被研究对象包含多种可能的情况 时，我们对所有的问题不能一概而论，要按照多种情况分类 讨论。进行分类讨论的时候，要依据一定的分类标准。例 如，进行函数知识的教学时，要根据题目的意思，结合函数的 概念，将与题干相关的概念所有相关的全集进行分类。
例 1 设函数 / (I) = I2 + I I — a | + 1，I 6 R，判断 /(x)的奇偶性。
解：当 a=0 时，函数 / ( — i) = ( — i)2 + | —i | +1 =/I
此时，/(i)为偶函数；当 a#0 时，/ (a.)=a2 + 1，/ ( — a.)=a2+2|a | + 1，/(—a)#/(a)，/( —a)# —/()，
此时，/(i)既不是偶函数，也不是奇函数。
在解题的过程中，我们就需要用到分类思想，对会影响 函数奇偶性的参数a进行正确分类，才能得到正确的结果。
此外，往往问题的联系和属性是交叉存在的，当问题比 较复杂时，我们分类的标准也不完全一致。我们认识问题的 过程一般是从表象到本质，也就是先认识简单的然后再到复 杂的。在对于数学解题同样如此，要层层递进分析题目的意 义，由简到繁，由浅到深才是正确的解题思想。
该题中的分类方法就较为复杂，采用了两类完全不同的 分类方法，需要结合问题核心函数性质及相关公式来确定不 同的分类标准。
二、培养学生形成遵循分类讨论原则的习惯
(一）
讨论范围要全面，不能遗漏：在分类讨论的思想解
题思路中，我们要考虑全面，把每一种可能发生的情况全部 列在解题的答案之中。在解题时，我们要考虑到概念所有可 能发生的可能性，分类概念的总和，应当和不分类概念的总 和一'样。
(二） 避免重复：在一般情况下重复解答一个问题，应该
是不扣分的。但是，在实际情况中，同学们可能没有意识到 已经重复了，对其他可能情况忽略了讨论，从而造成失分。 还有可能就是学生已经感觉到自己的分类讨论有所重复，但 是没有办法知道是哪里重复了，需要重新思考，浪费了答题 时间。对此，我们应该遵循一个原则：一般而言，我们所分的 类是互相不包含的，彼此排斥的。
(三） 同一标准原则：按照集合的概念和分类可以多层 次的进行，所以分类时也可以多层次的进行。对问题分类时 应该使用同一个标准，不同的标准在分类时，会产生不同的 分类方法，不同的方法可能导致解题的难度都不一样，有的 分类甚至解答不出题目。所以我们在解题时应该注意，只应 该有一个分类的标准。
当a在第四象限时，s，=(2)依据公式scca = 土 分类.
当，为一、四象限角时，sina = tanacosa = ^ ^一
t
例 2 ( 1)已知 tana = — 2，求 since ;(2.)已知士311〇> = 2(^#0)，求3丨11〇>。
解：1)由tanc = —2〈0可知，c在二、四象限；当a在第二象限时，sinc
2 5
列出来。为了解决以上问题，帮助学生们提高学习成绩，我们对分类讨论思想在高中数学教学中应用
■行+tan2a， 按照其
v! +t2
当a为二、三象限角时；sina =—
。
108
◦数学教学与研究
三、从分类讨论思想出发，将学生知识积累与数学思想形成 融于一体
分类讨论的思想是在数学思想中最为常见，最为实用的 思想之一。学生在解题时，能够获得科学的解题方法思想， 从而获得一般问题的解题能力。分类讨论的思想对学生技 能的发展和形成具有重要的意义。新课程的标准要求我们， 学生要从数学学习的教学活动中获得数学的基本知识、逻辑 能力和解决问题的能力。我们把数学学习作为载体，通 过数学学习，向学生们传授科学的数学学习方法，以及分类 讨论的思想，不仅使学生能够解决数学实际中的问题，还要 使学生们在实际生活中运用这种思想使之成为自己的一种 能力，一种解决其他问题的一种思维模式和处理问题的一种 方法。我们要培养学生的思考的能力和逻辑推理能力， 从而使学生在处理问题时能够有条理，思考问题全面，思考 问题比较严谨。这种实实在在解决问题的能力，不仅仅用于 解决数学教材上的问题，考试试卷上的问题，更要用于解决 生活中的数学问题，这种能力的养成有利于学生能够解(上接第105页）
“数形结合”例题剖析。
“数”与“形”及它们的联系与转化是数学解题的重要方 法。从“数”“形”两个方面对数学问题进行分析，既注重“数” 的严谨性，又充分发挥“形”的直观性，这样可以让学生对知 识点轻松、通俗地理解。中职数学教材中处处都蕴涵着数形 结合的思想，下面举例说明：
【“数形结合”例题一】
如果奇函数/(x)在区间[3,9]上是增函数且最小值是 6，那么/(x)的[一 9,一3]上是 .
A增函数且最小值为一6
B. 增函数且最大值为一6C. 减函数且最小值为一 6 D减函数且最大值为一6 【“数形结合”例题二】
n n如果角^是第二象限的角，且满足cos y —sin y =
01 一 sin9，那么角0是________.
决其他任何问题时，做出自己的判断和思考，从而找到科学
的解决问题的方法，做出自己正确的选择。四、结束语
分类讨论的思想在我们高中教学活动中运用极其广泛， 我们不仅要将其运用于数学解题之中，更要将其运用到生活 之中，运用科学的方法解决生活中遇到的问题。因此，分类 讨论的思想要有标准，要有原则。参考文献：
[1] 周剑.分类讨论的思想在高中数学解题中的应用[J]. 求知导刊，2014，（05).
[2] 张方东.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教 育，2015，（08).[3] 宋远芬，孙德贵.分类讨论思想在高中数学解题中的 应用[J].科技风，2015，（13).
[4] 张海.数学思想方法在高中数学课堂教学中的分析 [J].高中数理化，2016，（12).点，形成自己的知识系统，从而提高学习效率。
课堂板书设计要创建知识关联。任何知识都不是 存在的，通过在既有知识和新知识之间创建某种联系，可以 缩短学习时间，提高学习的效率。各个学科之间的知识点是 相互联系的。
课堂板书设计要实现“让学生实际动手做题”，这也是最 有效的学习方式。当书本知识与实用知识相结合时，书本上 的知识就变得很有用了。比如学习英语，学习之余多和别人 用英语交流和纯粹书本学习。
同时学生课堂上做笔记，要注意一：笔记成了抄写教材。 有的学生一节课下来，把教材和教师板书的抄一遍，忽视老 师的讲解思路，忽视思考能力的渗透。注意二：避免把笔记 记录成了习题集。这样才能学好数学的。注意三：笔记要经 常翻看，积极发挥它应有的作用。
可见，好的课堂板书设计能够帮助学生有效地记好笔记 及用好笔记。
四、中职数学课堂要有新的作业设计与布置
一节好的数学课堂作业设计也是非常重要的，学生应当 有充足的时间与空间来对本节课作业进行消化、吸收。特别 是那些重要的知识点，更要让学生有一定的思考时间和思考 余地。作业是学生与师生信息互动的一个平台，它是学生理 解与掌握知识多少的一个重要体现；适当的作业布置，可以 让学生进行多方面的知识理解与升华，学生可以在做作业中 获取知识及培养如何学习能力.
课后练习作业的布置，这个作业量不仅要适量，也要适 度，同时还不能一刀切，要分层次来布置作业。同时，布置作 业要与时倶进，例如：邮箱作业；微信、QQ链接作业；学校网 络平台作业。也就是说，让学生利用手机好做作业。
总之，一节好的课堂设计可以提高课堂有效教学，但无 论如何中职教师一定要根据学生的实际水平来进行课堂教 学设计。同时要不断思考、不断总结、不断反思，只有这样才 能使我们的课堂教学设计水平不断提高，从而设计好每一堂 中职数学课。
参考文献：
[1 ]何鹏程.建立激励制度，培养知名教师[J].四川职业 技术学院学报，1997(2) :7 — 8.
[2] 袁顺兵.数学娱乐圈[J].数学通讯，2005(21 ).
[3] 山人.数学的探究与欣赏[J].中国信息技术教育，2004(2) ：55 — 57.
八.第一象限角
B.第三象限角
C可能第一象限角，也可能第三象限角
D第二象限角可见，“数形结合”的数学思想方法，借助形的生动和直 观性来阐明数之间的联系。因此，应用“数形结合”来解题时 要注意两点：第一，注意数与形转化的等价性，将复杂的数学 问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题一定是 要求等价的。第二，注意利用“数”的精确性与“形”的直观 性，让二者紧密结合，得出正确的解题思路。
所以，中职教师在课堂上要有“数形结合”的巧妙教学设 计，才是真正好的一堂中职数学课。
三、中职数学课堂板书设计要如何利于学生做好笔记
好的课堂板书设计可以让学生轻松地记好上课笔记。 课堂板书设计得合理可以促进学生对课堂讲授内容的理解， 学生通过在课堂之上做笔记，不仅对新知识有一个全面理 解，而且通过做笔记有效地训练了解题思路，加强了能力思 维活动的训练，同时也克服上课注意力不集中、做小动作等 一系列坏习惯。
课堂上板书设计要有利于记笔记，因为记笔记可以整合 利用各种学习方式，每个学生都有自己的学习方式，他可以 通过记笔记，把知识内容条理化，同时梳理自己学过的知识
109