巧用坐标系解几何题
在新的初中数学课程标准中,数形结合作为一种重要的思想方法,渗透在新教材中.而平面直角坐标系作为数学研究的一种重要工具,它更是数形结合思想的重要体现.可是在新教材中,坐标系侧重于数结合形解决代数问题,而形结合数解决几何题则涉及较少.本文将从形结合数解决几何题的角度作一些探索. 例1: 如图,已知正方形ABCD的边长为5,E,F分别是边CD,AD的中点,BE,CF交于点P. Q F 求AP的长。 A D
E
F
A
D
B
P C
P E
分析;从几何解题的角度出发,此题有多种解法.
B C 解法一;猜想AP=AB=5，并加以证明.先证△BCE≌△CDF ,得CF⊥BE.延长CF,BA
交于点Q.证△AFQ≌△DFC 得AQ=CD=AB.利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AP=AB=5.
解法二;同解法一证得CF⊥BE,平移CF至AG交BE于H,利用三角形全等或相似证得G为BC中点,从而证得H为BP中点,CF⊥BE，即AH为BP的中垂线,得AP=AB=5
B
P H A
F
D E
G
C
以上两种解法先猜后证,大大简化了计算过程,但有两个难点:一要先猜,二证法繁复,而且都需要添加辅助线,对几何定理的运用要求较高. 解法三;通过几何计算的方法解直角三角形.同前两种解法证得CF⊥BE,过P作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,利用 △BCP∽△
G B
P H
C
A
F
D E
BEC， 求得CP∶BP=1∶2,BC=5,解Rt△BCP， 得CP=5，BP=25 再利用相似解Rt△PBH，得PH=2,BH=PG=4,则AG=3，PG=4，得AP=5 这种解法既有证明又有计算，对解题能力同样有较高的要求。 下面我们来探讨使用坐标系解题的方法。
解：以BC，AB所在直线建立坐标系。则由题意得C（5，0），F（2.5，5），E（5，2.5）求得直线BE解析式为yCF解析式为y2x10，
1x，直线2B A F D E C P 1yx则P点坐标由的解决定，解方程组得P（4，2）。∵A（0，5）∴2y2x10AP42(52)25，由两点间距离公式得AP=5。
这种解法简洁易懂，通过坐标系这个数形结合的媒介，把较复杂的几何问题转化成了简单的一次函数问题，充分体现了数形结合思想方法的优越性。 变式1：如图，正方形ABCD中，AF：DF=1：3，CE ：DE=1 ：2求CP ：FP
F
A
P B
E
C
D
F
A
P
B
D E C
变式2：如图，矩形ABCD中，BC=2AB，E，F分别是CD，AD的中点，求CP ：FP 变式1解；设正方形边长为单位1，以BC，AB所在直线建立坐标系。由题意得E（1，1/3），C（1，0），F（1/4，1），则直线BE解析式为y44直线CF解析式为yx
331x，3F A
M D E P B N C 1yx443解方程组 得P（,），过P作BC的垂
44515yx33
线交AD。BC于M，N。则CP ： FP=NP ：MP=同理可解变式2，CP ：FP=2 ：3
44(1)4:11 1515例2，如图正方形ABCD中，E是BC中点，EF⊥AE交∠DCP的角平分线于点F， 求证：△CFD为等腰直角三角形。
证明：设正方形边长为2，则E（1，0），A（0，2），C
1（2，0），D（2，2），由△ABE∽△ECG，得G（2，)
211∴直线EG解析式为：yx，直线CF解析式为
22A G B E D F yx2；
C P
∴F（3，1） ∴CF=2FD
∵∠DCF=45度 ∴△CDF是等腰直角三角形。
y 例3（2004全国初中数赛初试题）如图正方形ABCD与正方形CEFG边长分别
为2，3，M是AF中点，则MG= 。 解：如图建立坐标系，由题意得A（-2，
152），F（3，3），则M（,），G（0，3）
A 22G M D F x 152∴MG()2(3)2
222通过以上几个例题，我们看到，在固定
B C E
形状和大小的几何图形中进行，证明或计算，利用平面坐标系可以充分体现利用数形结合思想的解题的优越性，使学生加深对平面直角坐标系的理解，增强学习数学的兴趣，同时也为学生以后更好地学习解析打下基础。