固体物理学习题答案朱建国版完整版

固体物理学习题答案朱

建国版

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《固体物理学》习题参考

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=

2a 23a 2对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=6Rf2a== Rb3a3那么，

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点若ABC面的指数为（234），情况又如何

答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

正方 a=b

六方 a=b

矩形 a≠b

带心矩形 a=b

平行四边形

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明

设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此

a1nohda2nokd ……… (1) a3noid由于a3=–（a1+ a2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为

（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

322（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）

86663。 16金刚石：答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有： 边长为a的立方晶胞中堆积比率为

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：

4/3r3θ= = 36(2r)（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为那么：

32(4/3r3)θ= = 38(4/3r)4r，3（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：

24(4/3r3)θ= = 36(22r)（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

42(r3)23θ== 632ac2（5）对于金刚石结构

34r343Z=8 a38r 那么FZ*38()3=.

163a381.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？

答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′

=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （2）晶胞的体积= c(ab)= 3k(3i3j)=27*10-30(m3)

1原胞的体积=c(ab)=(3i3j3k)(3i3j)=13.5*10-30(m3)

21.7 六方晶胞的基失为：a3a3aaij，baij，cck 2222求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c）=

32ac 2那么，倒格子的基矢为b122222(bc)2(ca)ij ，b2ij ，

aa3a3ab32(ab)2k c其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最**面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为

aa1a，2，3。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是 hkl这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

h2k2l21故d[()()()]2

a1a2a31.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下

序号

1 2 3 4 5

θ/（°） 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：

（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式 得 d110同法得

应用立方晶系面间距公式 可得晶格常数adhklh2k2l2 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.27

取其平均值则得

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.

答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1ai

ij用正交关系式biaj2ij02,ij

2sin11.54052.2951010(m) o2sin19.611求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 由b1a12 b1a20 b2a10 b2a22

得到下面四个方程式

ai(b1xib1yj)2 （1）

13(aiaj)(b1xib1yj)0 （2） 22ai(b2xib2yj)0 （3）

13(aiaj)(b2xib2yj)2 （4） 22由（1）式可得：b1x2 a2 3a由（2）式可得：b1y由（3）式可得：b2x0 由（4）式可得：b2y4 3a于是得出倒易点阵基矢

第三章 习题答案

3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，

恢复力常数β＝15N·m－1

解：一维单原子链的解为XnAei(tqna)

据周期边界条件 X1XN1，此处N=5,代入上式即得 所以 5aq＝2（为整数） 由于格波波矢取值范围：aqa。 则 55 22 故可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢： 由于4224,,0, , 5a5a5a5a4qasinm2，代入，m及q值

则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013

3.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2N()2m212 式中m4m是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰

为N

解：对一维单原子链，dN()dqdqˆ2qdq 所以2qd （1）dq 由色散关系4qamsin2 求得

d4dqcosqa•a4aqaa4m22m2(1sin22)1/22[(m)2]1/2 （2）

而qLNa22， 则由（1）式可得 由于4mm ，则总的振动模数为 令

sin，则积分限为0到/2 ， 故 m3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为9N32

m gv32解：由书上（3－69）式可得22v3 （1）

由（3－71）可得 1/3Dm62nv

由此可得 22v33m3n ，代入（1）式得 3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力

常数β＝15N·m－1

，试求

（1） 光学波的最高频率和最低频率max和min； （2） 声学波的最高频率Amax；

（3） 相应的声子能量（以eV为单位）；

（4） 在300K可以激发频率为Amax，min和max的声子的数目；

（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）Mm4m Mm54.41102eV （2）max （3）n1ew/kT1

A0.221， nmin0.276 ， nmax0.873 nmax （4）光速cv ，cc22.8105m28m vmax3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和

10， 且最近邻的距离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q0和q/a处的q。

解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

β 10β β 10β m x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 2n10x2n1x2nx2nx2n1xm原子的运动方程应是

2n1x2n2x2n110x2n1x2nxm2n10x2n1x2n111x2n x即 m 求格波解， 令 x2nAeqai2nt2，x2n1Beqai2n1t2

代入运动方程，可导出线性方程组为： 令

m20，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

可解出

2021120cosqa101 色散关系见下图

q0时，cosqa1，220，0

q时，cosqa1，a200，20

3.6．在一维双原子链中，如Mm1，求证

[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 Mm， 得12 4mM 1 由近似式1xn1nx，(当x1）mM{1[114mMsin2qa]1/2} 22(mM)

mMmM22sin2qasin2qa， mMM2 对2，由于Mm，MmM

3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q2a处，声学支格波中所

有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。

[证] 由（3－18）第一式得

A2cosqaq ，当 时 cosqa0 且对声学B2m22a2支M

1/2，代入上式即得：

A00 ，故A＝0， 轻原子静止 B22mMB2cosqaq ，当 时cosqa0 A2M22a 再由（3－18）第二式得

2 且对光学支，M

1/2，代入上式即得

B00 故B＝0， 重原子静止

mA22M

3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单

250kBTm晶格，接近熔点时原子的振动频率aM1/2，其中M是原子质量。

[解] 当质量为M的原子以频率及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动

11a能为：EM2A2M2 在熔点Tm时，原子的能量可按照能量均分定

22101a理处理，即一个一维原子的平均能量为kBTm，于是有M2kBTm，由此得

21013.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv3NkB[1D]

20T证明：由书（3.73）式可知Cv9NkB(T/TD)3222DTexx4dx0ex12

在高温时，TD，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化

x4x4x2x22x/2x简为x22x/2112 32xeee1x1x1224exx43511DD3 将上式代入Cv的表达式，得Cv9NkB(T/TD)

3T60T3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为

，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 23V2 解：由（3－69）式知，状态密度gV

22v3 则 E00d0DD013V223d 22v3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T2

证明：此题可推广到任意维m，由于

而德拜模型中vq，故gqm1m1

令kTx，则上式变为 在低温时 xDDkT

则积分xxm10eex12dx 为一个于T无关的常数

故 CvTm 对三维 m＝3 CvT3 对本题研究的二维 m＝2 CvT2 对一维 m＝1 CvT

3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为Ure2rbra，衡间距r100310m，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 3gkB4f2r 0 其中：f1d2U2dr2，g1d3Ur03!dr3 r0 由平衡条件dUdre29be282r100 br0r009r0

f2e290b4e216e2990b52e22r3113， g1202r0r06r40r03r4 0 由于 r03108m ，e4.8061010CGSE

3.13 已知三维晶体在q0附近一支光学波的色散关系为

q2Bq220AqxyCqz ， 试求格波的频谱密度 解：2Bq220AqxyCqz

222 则 qxqyqz1

000ABC 这是q空间的一个椭球面，其体积为43abc，而

为待定常数，平

b

a0A1/2，b0B1/2，c30C1/2

LV q空间内的状态密度q(2)32 ，故椭球内的总状态数N为

dNV1 故 2d4ABC1/201/2V204ABC1/2

第四章

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同为什么

答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？

答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式 可得

neN0.671.610191.381023300=5.682*10-12

4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式 可得

vvoe0.1eV1.381023300=2*1015*0.02=4*1013

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；

（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：

（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为

同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是 于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数 由此而引起晶体熵的增量为

设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

FUTSnw2kBTInN! （1）

(Nn)!n!热平衡时，(F)T0，并应用斯特令公式InN!NInNn，从（1）式得 n因为实际上Nn，于是得

n/N=Bexp（-W/2kBT）

（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是V2na3 式中a为离子最近邻距离。因为V2Na3为晶体原有的体积，有上式可得 4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：DDoeEA/kBT 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果： T/K D/m2·s-1

878 1.6*10-20 1007 4.0*10-18 1176 1.1*10-18 1253 4.0*10-17 1322 1.0*10-16

试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：由公式 DDoeEA/kBT，可得 当T=878，D=1.6*10-20时，D01=

4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式

n5可得：对于铜e8.61010000.03

N2.80.3n5 对于硅e8.61010007.2471015

N4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。 答：

4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示：

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。 答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。

（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则

（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，

4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑1移的方向和大小用伯格斯矢量表示为b[110]。试确定该滑移面的晶面指数，并问该

2位错是刃位错还是螺位错。 第六章

6.1 一维周期场中电子的波函数kx应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为

a3 （2）kxicosx

a （3）kx（1）kxsinx

ifxa （f是某个确定的函数）

 试求电子在这些状态的波矢

解：布洛赫函数为kxaeikakx （1）sin(xa)sin(x)sinx aaa eika1 ，ka ，k （2）icosa

333xaicosx3icosx aaa 同理，eika1 ，ka ，ka

（3）

fxaafx(1)a



'fx'afxa 此处'1

 eika1，ka0或2 ，k0或2 a271coskacos2ka6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成Ek，式中a2ma88是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量

解：能带宽度为 EEmaxEmin， 由极值条件

dEk0， 得

dk 上式的唯一解是sinka0的解，此式在第一布里渊区内的解为k0或 当k＝0时，Ek取极小值Emin，且有EminE00

22当k时，Ek取极大值Emax ，且有EmaxE 2aamaa

22 由以上的可得能带宽度为EEmaxEmin 2ma （2）电子的平均速度为v1dEk1sinkasin2ka dkma4 （3）带顶和带底电子的有效质量分别为

6.3 一维周期势场为

1mW2b2xna2 Vx20当nabxnab当(n1)abxnab，

其中a4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 Eg2Vn ，

其中Vn是周期势场Vx傅立叶级数的系数，该系数为： 求得，第一禁带宽度为

第二禁带宽度为

6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出Ek，mk与波矢的

关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似，

对一维，最近邻Rsa 则 EkE0J0J1eikaeika

Ek为余弦函数 （图省）

22 有效质量 m2

E2J1a2coskak2 mk的图也省

在原点附近，ka很小，coska1 在布里渊区边界，ka，ka，coska1

6.5 某晶体电子的等能面是椭球面

22k12k2k32 E，坐标轴1，2，3互相垂直。 2mmm231求能态密度。

解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

x2y2z2 将上式与椭球公式2221

abc比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积

4abc 比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积 3 由上式可得

能量区间EEdE内电子的状态数目 Vc是晶体体积，电子的能态密度

6.6 已知能带为：Ekcosakxcosakycosakz 其中0，0，a为晶格常数，试求 （1） 能带宽度

（2） 电子在波矢

2a(1,1,1)状态下的速度

（3） 能带底附近电子的能态密度

解：（1）

Easinakx0，kxan kxEasinaky0，kyan kyEasinakz0，kzan kz可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值

故，能带宽度EE顶E底＝42 （2）vvxivyjvzk 其中 在k2a(1,1,1)时

（3） 能带底n为偶数，可取为零，故kxa，kya，kza均很小

x2据cosx1 (x1)

2有Ek11221221kxa1kya1kz2a2 222 用和6.5题相同的方法，其中

2222mmm，，， EE2321a2a2a221/221则：E22E2

6.7 用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计

算电子的速度及有效质量张量。 解：

EkE0J0J1eikRsRs

y x 对二维正三角晶格（如图），

6个最近邻的坐标为

a3a3a3a3a,0，a,0，,a，,a，,a，,a 22222222代入上式并化简得：

电子速度：vvxivyj，其中 由于m112Eij2k xky6.8 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带

（1） 证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。（2） 画出[100]与[111]方向的Ek曲线。 （3） 画出kxky平面内能量的等值线。 解：（1）

EkEkR0J0J1eis

Rs面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在 将这些Rs代入上式并简化可得：

EkEkakyakyakakaka0J04J1cosx2cos2cos2cosz2cosz2cosx2x2kx，ky，kz，均很小，利用cosx12，（x<<1, 则得

2故 EkEa2220J04J12kxkykz

2由于m1m112E8J1a2ii2k22 i22J1a其余mij0

（2） 在[100]方向，kykz0，则

即可按此函数作图（图省） 在[111]方向，kxkykzk

可据上函数作图（图省）

（4） 在kxky平面内，kz0

等值线即 EkC （C为常数）

在k＝0附近，

6.9 对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带

顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。

解：s态电子能带可表示为EkE0J0J1eRsikRs

对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：aaa，， 222化简后即得：

故 EkE0J08J1cos由于1cosx1，可看出

kxa11coskyacoskza 222kiaka时，cosi1

22Ek为极大值，即Emax8J1 而

kiaka0，。即ki0时，cosi1 22Ek为极小值，即Emin8J1

16J1 故带宽EEmaxEmin＝x2在带底附近，由于ki0，用cosx1，则

2 这显然是一个球形 有效质量m1m1ii12E2J1a22， 2ki22所以 m2J1a2

kiai，i很小 在带顶附近，可写为2则coskia12cos(i)cosi1i 222ka2x21E112J1a222228J12， kx2kx2这显然也是个球形

而mm11ii6.10

金属铋的导带底部有效质量倒数张量为

求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质 解：mxx1的逆矩阵即为m矩阵，用矩阵计算方法，可求得

ayyayz1azz m，myy，mzz，myzmzy ， 222axxayyazzayzayyazzayzayyazzayz其余为0

为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项），

E12E0，且2并假定能带底E＝0，在能带底一阶导数为0，即＝kikikjm1ijaij

122故有Eka222kakakxxxxyyyyzzz2ayzkykz

显然等能面Ekc是一个椭球面

固体物理第七章答案

7.3 （1）先决定导带底及价带顶的极值位置 导带极小值的能量 价带极大值的能量 禁带宽度Eg为

（2）导带底电子有效质量 价带顶电子有效质量 （3）pkckv3 47.4 重空穴能量比轻空穴小 7.5 7.6

（1）利用类氢模型，InSb中施主杂质的电离能为

（2）施主杂质的玻尔半径

（3）锑化铟为fcc结构，晶体的总体积VNa32.721022Ncm3 一个施主杂质所波及的体积为

43ad10.771010cm 3因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为：

每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为：

d17.7 运动方程 mVeEVB

dtB平行于Z轴，载流子是电子时， 稳态时，时间导数为0，

其中，ceB/m，称为回旋频率， 解得 其中

(11)eneenee(ce)()，v 12e1(ce)21(ce)2同理，当载流子是空穴时： 总电流

令jy=0求得：Ex略去c得 7.8 由7.42可得

7.9 在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时，导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。 其中NC12mekBT12mhkBTN，D 2324343232(11)e(11)hEy代入jx表达式，并由霍耳系数定义式得：

(12)e(12)h2

称为有效能级密度， 当施主电离很弱时，EFED1，可略去右边分母中的1。

1若要使EF(ECEV)

2则ND2NC

7.10 通过p-n结的电流与偏压的关系为

当T=300K，V=0.15V时，1eV/kBT=5.8，因此，反向电流实质上便是I0，故正向电流为

第九章

9.1Sn在零磁场时Tc为3.7K，在绝对零度时的临界磁场Hc（0）为24*103A/m。求当T为2K时的临界磁场Hc。如果2K时半径为0.1cm的Sn线通过电流，问：在超导线表明的磁场强度H等于Hc（2K）时的临界电流为多少安培？

T2答：由公式Hc(T)Hco(12)

Tc22)=16.988*103（A/m） 可得Hc(2K)2410(123.739.2已知Hg和Pb的德拜温度分别为70K和96K，临界温度Tc分别为4.16K和7.22K，低温电子比热[(kB)2g(EF)/3]分别为1.79和2.98[mJ/(molK2)]，求Hg和Pb的有效吸引能VPb/VHg之值。 9.3试推证穿透深度L的表示式。 答：将London方程

jc24LA （1）

两边求导得

jcA （2） 2t4Lt

再由Maxwell方程

1A得到E

ct代入（2）得到

jc2E （3） 2t4L由于j=nqv，n为载流子密度，且m与（3）式比较，得

mc2所以

4nq22LdvqE。则 dt9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体？

答：超导体按磁化特性可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场Hc，其 。很明显在超导态，磁化行为满足M/H=-1，具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外，其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场，即下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2，当外磁场H0小于Hc1时，同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外，此时，第二类超导体处于迈斯纳状态，体内没有磁通线通过。当外场增加至Hc1和Hc2之间时，第二类超导体处于混合态，也称涡旋态，这时体内有部分磁通穿过，体内既有超导态部分，又有正常态部分，磁通只是部分被排出。

9.5用直径为1mm的铅丝围成一个直径为10cm的环。该铅环处于超导态。已经有100A的电流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1uA。试估算铅在超导态时的电阻率为多少？

9.6设均匀磁场Ho沿y轴，超导薄板与z轴垂直。薄板的上下两个平面为z=±d。求证超导体内部的磁通密度为

答：考虑以厚度为δ的无限平面超导平板，外加的均匀磁场沿Z轴方向。在超导体外，磁场强度为B=Bak；在体内B=B（x）k；在表面处B连续，B（±δ/2）=Ba。在一维的情况下，穿透方程22BB变成 它的通解为：B(x)aex/xxbe，应用边界条件B（±δ/2）=Ba，可解得

a=b=B(x)Ba(ee1)=B(x)Bae/2e/2x/ cosh()2xcosh()