1、行列式
1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、和的大小无关;
②、某行（列)的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行(列）的元素乘以该行(列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式：
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则; 将主对角线翻转后(转置)，所得行列式为,则； 将主副角线翻转后，所得行列式为,则； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式:副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积; ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解; ④、利用秩,证明； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. 是阶可逆矩阵:
（是非奇异矩阵)；
(是满秩矩阵)
的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵；
的行（列)向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于阶矩阵: 无条件恒成立；
3. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 4. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
1
Ⅱ、；
②、;（主对角分块) ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；(拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换）
①、若，则可逆,且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：;
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程,如果，则可逆，且；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列,符号,且，例如：; ④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：； ⑤、倍加某行或某列，符号,且，如:； 5. 矩阵秩的基本性质：
①、；
②、; ③、若，则;
④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、；（※） ⑥、；（※） ⑦、；（※）
⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※） Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）;
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量）行矩阵（向量）的形式,再采用结合律； ②、型如的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有项； Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质：；
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：；
2
②、伴随矩阵的特征值：； ③、、
8. 关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0;（两句话）
②、，中有阶子式全部为0; ③、，中有阶子式不为0；
9. 线性方程组：，其中为矩阵，则：
①、与方程的个数相同,即方程组有个方程；
②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程； 10. 线性方程组的求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:
①、；
②、(向量方程，为矩阵,个方程，个未知数） ③、（全部按列分块,其中）; ④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；
个维行向量所组成的向量组:构成矩阵；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；(线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程)
3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14） 4. ;（例15)
5. 维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关 ;
②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）; ③、线性相关
共面；
6. 线性相关与无关的两套定理： 若线性相关，则必线性相关；
若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组：
若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之，不确定；
7. 向量组(个数为）能由向量组（个数为）线性表示,且线性无关，则(二版定理7）；
向量组能由向量组线性表示，则；(定理3) 向量组能由向量组线性表示
有解；
（定理2） 向量组能由向量组等价（定理2推论) 8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；
①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解 ②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；
3
③、矩阵等价：（、可逆）； 9.
对于矩阵与：
①、若与行等价，则与的行秩相等；
②、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵的行秩等于列秩； 10.
若，则:
①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；
②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵；（转置)
11.
齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 只有零解只有零解； ②、 有非零解一定存在非零解；
12. 设向量组可由向量组线性表示为：(题19结论)
（）
其中为，且线性无关,则组线性无关；(与的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：；充分性：反证法)
注：当时，为方阵，可当作定理使用;
13. ①、对矩阵,存在, 、的列向量线性无关；()
②、对矩阵,存在， 、的行向量线性无关； 14. 线性相关
存在一组不全为0的数，使得成立；(定义）
有非零解，即有非零解；
,系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；
16. 若为的一个解,为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论)
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵或（定义)，性质：
①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即; ②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且； ③、若、正交阵，则也是正交阵; 注意：求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化:
；
;
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、与等价 经过初等变换得到；
，、可逆； ，、同型；
②、与合同 ，其中可逆; 与有相同的正、负惯性指数； ③、与相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格)； 6. 为对称阵,则为二次型矩阵； 7. 元二次型为正定：
的正惯性指数为；
与合同，即存在可逆矩阵，使； 的所有特征值均为正数； 的各阶顺序主子式均大于0； ；(必要条件）
4