江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试卷(WORD版含答案)

高一数学试卷

一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 U = R ，集合Ax|x23x20，则CUA（ ） A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2，-1 ) D. [ -2，-1] 【答案】B；

【解析】因为A,12,，U = R ,所以CUA[ 1,2] ．

112. 设alog3,b43,clog32，则a，b，c的大小关系为（ ）．

4A. c >a> b B. b> a> c C. c> b> a D. b> c> a 【答案】D；

【解析】a0,b1,0c1,所以 b> c> a．

3. 如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得

OCmOAnOB，则m- n的值为（ ）．

A.112 B. 0 C. D. 333【答案】A；

【解析】由等和线定理，易得OC121OAOB，所以m- n =. 333

4.已知函数fx2sinx0,2的图象如图所示，则的值为（ ）．

A.

 B. C. D.

【答案】D； 【解析】由图可知，

T3222，所以fx2sinx，又因为，所以22T333f8232，所以，解得，因为，2k2kkZ38242所以4.

1x15. 函数fxlog21x32x1的定义域是 ( )

A. [1,+∞ ) B. (0,1) C. (-1,0 ] D. (−∞ −1]

【答案】C；

1x10且【解析】由对数的真数大于 0 ，及二次根式内非负，得

1x32x10，

解得1x1且x≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．

6. 设a，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a，1 )，B(-2，b )，且sin1a，则的值为（ ）． 3bA. -4 B.-2 C. 4 D. ±4

【答案】A；

【解析】由三角函数的定义，

131a21b4b2，且a< 0，解得b2,a22，2所以

a4. bx7. 函数y2sin2xxR的图象大致为（ ）．

【答案】D；

【解析】由该函数为奇函数，排除选项 A，B，由x故选 D．

8. 若函数fxlgx12，则对于任意的x1,x21,，

2时，函数值为 0，可排除选项 C，

fx1fx22与

xx2f1的大小关系是（ ）． 2A.

fx1fx22fx1fx22fx1fx2xx2x1x2ff1 B. 2

22C.

xx2f1 D.不确定

2【答案】B；

【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选 B．

二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列计算结果为有理数的有（ ）． A.log23log32 B. lg2 +lg5 C.2【答案】ABCD；

【解析】log23log321；lg2+ lg5=1；2故选 ABCD．

10. 对于定义在 R 上的函数fx，下列判断错误的有（ ）． A.若f2f2，则函数fx是 R 的单调增函数 B.若f2f2，则函数fx不是偶函数

1ln21ln2e D.sin5 6e0；sin51， 62C.若f00，则函数fx是奇函数

D.函数fx在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则fx是 R 上的单调增函数 【答案】ACD；

【解析】A 选项，由f2f2，则fx在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，fxx2，满足f00，但不是奇函数；

D 选项，该函数为分段函数，在 x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误． 11. 设 a 为实数，则直线y =a和函数yx1的图象的公共点个数可以是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC；

【解析】yx1是偶函数，且在 [0,+∞ ) 上递增，画出草图，可知y=a与该函数的交点个数可能为 0，1，2．

12. 设函数fx的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使

44fxfy2C（C

为常数）成立，则称函数fx在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A.yx1xR B. y23xxR

C. ylnxx0, D. y=sin2x+1( x∈R)

【答案】AC；

【解析】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f(y)=f(x)-2；由于AC值域为R，故满足； 对于B，当x=0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为-1，故B不满足； 对于D，当x2时，函数值为−1，此时不存在自变量y，使得函数值为−3 ,故D不满足，

所以选AC．

三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设m为实数，若函数fxxmx2在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m的取

2值范围是 ． 【答案】m≤−4；

【解析】fx为开口向上的二次函数，对称轴为直线xm,要使得函数在(−∞,2)上递2减，则m2，解得m4. 214. 把函数ysin2x3图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到

图象为C1；再把C1上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为C2，则

C2对应的解析式为 ．

【答案】y2sinx3

【解析】C1:ysinx3,C2:y2sinx3.

15. 若ABcos,1,AC2cos,2sin，其中θ∈[0,π]，则BC的最大值为 ． 【答案】3；

【解析】BCACABcos,2sin1, 所以

BCcos22sin13sin24sin2,因为0,，令

22tsin0,1，所以BC3t24t2,所以当t=1时，取最大值 9，所以BC的最

大值为 3．

22x,x116. 已知函数fx2，那么ff3 ；若存在实数 a ，使得

x,x1faffa，则a 的个数是 ．

【答案】 1 ；4； 【解析】ff3f11;令fat，即满足ftt，

2①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；

2②t <1，即 −1 1时，ftt，由tt，解得t =0或1（舍去）；再由

tfa0解得a = 0或 2 ；

③t > 1，即a < − 1时，ft2t，由t= 2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．

四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （10 分）

设 t 为实数，已知向量a1,2,b1,t. ⑴ 若 t = 3，求ab和ab的值；

⑵ 若向量ab与a3b所成角为 135° ，求 t 的值． 【答案】⑴ab= 5，ab5；⑵ t = 2；

【解析】⑴ 当 t = 3时，b1,3,ab0,5,ab2,1 所以ab= 5，ab5；

⑵ ab0,2t,a3b4,23t,

cos135aba3baba3b2t23t22t1623t2. 32, 2平方化简得：3t4t40，解得t12,t22经检验，当t2时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 318. （12 分）

设实数 x 满足 sinx+ cos x= c，其中 c 为常数． ⑴ 当c =

2时，求sin4xcos4x的数值；

3cos3xcos3x2⑵ 求值：（用含 c 的式子表示）．

sin4xcos4xc211【答案】⑴;⑵;

2c2【解析】⑴ sinx+ cos x=2，平方得： 1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx=

1; 2sin4xcos4xsin2xcos2x2sin2xcos2x21; 2（2）

3cos3xcos3xsin3xcos3x1sinxcosx2 442222sinxcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxc21由sinx+ cos x= c，所以平方得：1+ 2sinx cosx = c，sinx cosx =

22c21c212所以原式=. c2c19. （12 分）

设 a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面

am，已知水轮每2分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点P0）开始计算时间． ⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间．

【答案】⑴hasinat,t0;⑵ 4s ；

626【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直

角坐标系．当t= 0时，点 P 的坐标为3a，角度为;根据水轮每分钟逆时针转a,226动 5 圈，可知水轮转动的角速度为

rad / s,所以 t 时刻，角度为t;根据三角函数定

666义，可得hasinat,t0;

626⑵ 当h3a时，sint1，所以t2k，解得t=4+12kkN，

626626所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 4s ．

20. （12 分）

设向量ax1,y1,bx2,y2，其中a0． ⑴ 若a//b，求证：x1y2x2y10 ； ⑵ 若x1y2x2y10 ，求证：a//b．

【解析】ax1,y1,bx2,y2，其中a0，所以x1,y1不全为 0，不妨设x10; ⑴ 如果a//b，则存在实数，使得ba ，即x2,y2x1,y1x1,y1,

x2x1所以,则x1y2x2y1x1y1x1y10

yy21⑵ 反之，如果x1y2x2y10，因为x10，所以

y2xx2xy1,x2,y2x2,2y12x1,y1 ， x1x1x1x2，则ba，所以a//b． x1令21. （12 分）

⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数fx1x在区间 (0,+∞)上是单调减函数； 3x3y⑵ 设 a 为实数， 0 【答案】⑴ 答案见解析；⑵a3ya3x和a4x3ya3x4y的大小，并

a3x【解析】⑴ 对任意的x1,x20,，且x1x2，

2211x2x1x2x1x2x1fx1fx23x13x2x2x133xxxx12122233因为x2x10,x2x1x2x10,x1x20，所以fx1fx20，即

fx1fx2 ，所以函数fx在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；

⑵ 因为 04x3y且g4x3yg3x4ya所以a3ya3x4y0，

a3x22. （12 分） ⑴ 已知函数fxx1x1,xR，试判断函数fx的单调性，并说明理由； x1x1x1,xR. x1⑵ 已知函数gxlg（i）判断gx的奇偶性，并说明理由；

（ii）求证：对于任意的x ,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠−1都有gxgyg①.

⑶ 由⑵可知满足①式的函数是存在的，如gxlg的函数是否存在无穷多个？说明理由．

【答案】⑴fx在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增；⑵答案见解析；⑶存在无穷多个； 【解析】⑴ 对任意的x1,x2,1，且x1x2，

xy1xyx1x1,xR．问：满足①x12x1x2x11x21则fx1fx2， x11x21x11x21因为x1x20,x11x210，所以fx1fx20，即fx1fx2，

所以函数fx在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得fx在区间(-1,+∞)上单调递增； ⑵（i）gx的定义域为,1对任意的x,1且gxgxlg所以gx为奇函数，

又g2g2，所以gx不是偶函数；

（ii）对于任意的x,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠−1， 因为gxgylg1,11,，

1,11,，有x,11,11,，

x1x1x1x1lglglg10， x1x1x1x1x1y1x1y1lglgx1y1x1y1x1y1， lgx1y1xy1xyx1y1xy1xy1xy所以g gxgy；lglglgxyx1y11xyxy1xy11xy⑶ 设gkxklg−1，都有

即gkx满足①，因为 k 有无穷多个，所以这样的gkx也有无穷多个．

x11 ，y≠±1，xy≠kgx，则对于任意的x, y∈R，且x≠±

x1