有限差分法和隐式龙格库塔法求解Burgers方程

第３６卷第１－２期　２０１３年６月　长春理工大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．１－２　Ｊｕｎ．２０１３　有限差分法和隐式龙格库塔法求解Ｂｕｒｇｅｒｓ方程　王佩臣　，袁海燕　，刘鹏　，宋玉琦。　（１．黑龙江工程学院数学系，哈尔滨１５００５０；２．黑龙江中医药大学公共卫生学院，哈尔滨人事处，哈尔滨１５０００８；　３．哈尔滨医科大学摘１５０００１）　要：提出一个新的方法求解一维Ｂｕ　ｅｒＳ３－＃；－，组合使用有限差分法和隐式龙格库塔法求解Ｂｕｒｇｅｒｓ方程。首先使用二　阶有限差分法进行空间离散，得到一个常微分方程组，然后使用高阶Ａ稳定的隐式龙格库塔法求解常微分方程组，最后比　较数值解和精确解，数值结果证实该方法有很高的精度和稳定性。　关键词：有限差分法；隐式龙格库塔法；Ｂｕｒｇｅｒｓ３－，￣．；高精度　中图分类号：Ｏ２４１．８２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—９８７０（２０１３）（１　２）一－０１５８—０３　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　Ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｂｕｒｇｅｒｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＷＡＮＧ　Ｐｅｉｃｈｅｎ　，ＹＬｒＡＮ　Ｈａｉｙａｎ　，ＬＩＵ　Ｐｅｎｇ￣　，ＳｏＮ　Ｇ　Ｙｕｑｉｑ。　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５００５０；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｅｒｓｏｎｎｅｌ，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉ　ａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍｅｄｉｃｉｎｅ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００８；３．Ｓｃｈ（）（）１　ｏｆ　Ｐｕｂｌｉｃ　Ｈｅａｌｔｈ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｍｅｄｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｋｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｗｅ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　．ｉｆｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｒｕｎｇｅ一－Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｗｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｅ　ｔｈｅ　Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａ—　ｔｉｏｎ．ｉｎ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｐａｃｅ　ｗｉｔｈ　２－ｏｒｄｅｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ，Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅ　ｕｓｅ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏ＆　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ＯＤＥｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｉｓ　ｗａｙ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｓｈｏｗ　ｔｅ　ｅｆｈｆｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｅ　ｍｅｔｈｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｉｒｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｈｉ曲ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎｄ．ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ；ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｒａｎｇｅ～ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄ；ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ　Ｂｕｒｇｅｒｓ方程通常也称之为非线性对流一扩散模　方程的简单模型方程，又可以代表浅水波问题的洪水　型方程。现有的方法（例如显式龙格库塔法）一般在　数学模型，而且也是当代交通流动力学的模型方程。　考虑下面Ｂｕｒｇｅｒｓ方程　＇副的初边值问题：　时问离散过程中不是很稳定的，本文使用有限差分　Ｂｕｒｇｅｒ方程可以作为流体动力学Ｎａｖｉｅｒ一－ｓｔｏｋｅｓ　｛Ｉ　ａ　ａｕ　初始条件：　Ｈ　（离散空间导数，然后使用高阶Ａ稳定的的隐式龙格　库塔法　进行时间离散。　１）　ｉａ＜　＜６，　０＜　Ｔ　（ｚ，０）＝　（ｚ）　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件：　１有限差分格式　考虑下面方程　（２）　一甜　ｚ）　）　（４）４　　ｌ　（（　，６，ｔｔ）　】　Ｉｆ，１（　）　ｊ）ｆ，２（　）　（３）　令　和　分别为对ｚ的一阶和二阶中心差分　０　—　一　其中　为常数，　（ｚ），　（　）和　（　）为已知函数。　收稿日期：２０１２—１０—１１　基金项目：黑龙江省自然科学基金（ＱＣ２０１１Ｃ０２０），黑龙江省教育厅科学研究项目　作者简介：王佩臣（１９７９一），男，讲师，Ｅ—ｍａｉｌ：ｗａｎｇｐｅｉｃｈｅｎ２００７＠１２６．ｔｏｍ。　第１－２期　王佩臣，等：有限差分法和隐式龙格库塔法求解Ｂｕｒｇｅｒｓ方程　１５９　２　：　［　主　，ｚ　分公式的隐式龙格库塔法。　本文取ｑ＝３，得Ｂｕｔｃｈｅｒ’Ｓ矩阵，如下　５　（５）　３６　在点ｚ，处有下面关系，方程（４）变为　２Ｕｘ２　√１５　５　４１５　ｌ　９　１５　３６　３６　３０　２４　２　１０　ｆ—Ｕｉ８ｕｆ　＋Ｄ（＾　）　其中　ｆ＝ｕ（ｘｆ），　（ｚｆ）。　５．√１５　３６‘２４　２　９　９’１５　５　４１５　５　３６　ｌ８　１　厶　２隐式龙格库塔法　对于下面的一般初值问题：　５　√ｌ５　２．√１５　３６　３０　１　２’１０　堕　垒　９　Ｑ）＝　（ｆ，　），ｙ（ｔｏ）＝ｙｏ，ｆ≥　（６）　１８　其中Ｙ∈　，　×　一唿　，用隐式龙格库塔　法求解方程（６）可表示为　＋ｌ＝ｙ　＋　∑６ｆｋ　岛＝ｓ（ｔ　ｈ　口　］，　，２，…，ｇ　（７）　ｔｎ：ｔｏ＋　（　：０，１，…），其中　＞０为积分步　长。公式（６）、（７）称为　级龙格库塔法，系数　ｂ　，　，ａｏ（ｉ，　＝ｌ，２，…，ｇ）为实数，ｂｆ称为权系数，　称为节点系数，Ａ＝　ｆ、　）　为系数矩阵。这些系数　ｇ　ｇ　通常用下面Ｂｕｔｃｈｅｒ’ｓ矩阵形式表示。　仍从（６）出发，对方程（６）从ｔ　到ｔ　＋　积分可得　ｙ（ｔ　＋　）——　（　）＝＝Ｊ　厂（　，　）ｄ　（８）　如果用ｇ个节点的求积公式计算右端的积分　项，得　（　，ｙ）ｄｔ　ｈ２ｂ　（　＋ｒｉｈ，　（　＋　））　令Ｙ　＝　（　），岛≈　（　＋ｒｉｂ），Ｙ　＋１＝　（　＋　），　因此（８）化为　ｙ（ｔ　＋　）一　（　）＝　Ｅｂ　ｆ（Ｇ＋ｒ　ｈ，ｋ　），　对方程（６）从　到　＋　积分可得　（　＋ｒｉｈ）一　（　）＝ｆ？＋ｒｉｈ　（　，ｙ）ｄ“一ｌ，…，ｇ　如果右端的积分用求积系数ａｏ（ｉ，　：ｌ，…，ｇ）　的求积公式，得　岛＝　（　）＋　∑ａｑＪ　１　ｓ（ｔ　＋ｒｊｈ，白），　＝１，…，９，上　述的积分系数我们都选Ｇａｕｓｓ—Ｌｅｇｅｎｄｒｅ积分公式　的系数。这样就得到一个基于Ｇａｕｓｓ－Ｌｅｇｅｎｄｒｅ积　我们使用Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ法求解方程（７）中　关于ｋ　的非线性方程组。　３提出的方法　通过离散空间和时间，我们令ｈ：　表示空　间步长，Ａｔ＝　１表示时间步长，我们记：　ｚ　＝ａ＋ｉｈ，ｉ＝０，１，２，…，　，　ｔ　ｔｏ＋ｋＡｔ，志＝０，ｌ，２…．，Ⅳ．　我们用（５）式对（１）式在空间点　上进行二阶　逼近，得到　Ｖ・　。　ｆ　）一　ｆ　）　）：　ｆ　）　（９）　其中　）　（　，　），讹）　ｄｕ（西，　）　我们考虑方程（１）的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件（３）．我们　把（９）转化为一阶非线性常微分方程组，如下式：　（　）＝　（　）＋Ｆ（ｔ，　（　））＋Ｇ（ｔ）　（１０）　其中　（　）＝　１（　１１２（　…，／Ａｎ－１（　）］　，　（　）＝［　１（　２（　…，　一１　）］　，　Ｋ＝　７３　ｔｒｉｌｌ，－２，１］　一１，　Ｆ（ｔ，　（ｆ））＝　（ｆ），　（　）…．，　一１（￡）］　，在这里　（ｆ）　ｆ　ｆ＋１一Ｕｉ－１），　＝１，２，…，　一１・　ｔｒｉ［ａ１，口２，ａ３］　一１代表　一１）ｘ（ｎ一１）对角矩阵，　广　］ｒｒ　Ｇ（ｔ）＝ｌ　…０…０’紊　Ｉｃ　我们使用隐式龙格库塔法求解该一阶非线性常　微分方程组（１０），进而得出原问题的解。　４数值试验　我们考虑方程（１），　取ｔｏ＝０，丁＝ｌ，ａ＝０，６＝１，初始条件为　＝　．　边界值条件为：