数值天气预报考试题答案

兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 数值天气预报 200 —200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟） 考试时间 姓 名 学 号 题 号 分 数 得 分 主考教师： 隆霄 阅卷教师： 1．对线性平流方程： uua0tx Crank-Nicolson的差分格式为： 1nunujjn1n1nnauj1uj1uj1uj1()022x2x t分析其稳定性条件和截断误差。(20分) 解:令at1n1n1nn,则差分格式可以展开为: ununjj(uj1uj1uj1uj1) 4xIkxi利用冯-纽曼方法,设unjGe,I1,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为: G12Isinkx 12Isinkx12Isinkx|1 12Isinkx由于 |G||所以格式绝对稳定. 利用泰勒展开可以得到: 1ununjjunjtt2unjt2(t)2/(2!)....... 所以unjt1ununjj2unjt2tt/(2!).......,时间截断误差为O(t) 2n1n1n1n1类似的方法把uj1,uj1,uj1,uj1在空间域展开,可以得到截断误差为O(x) 2．对线性平流方程： uuucd0txy 其中c=, d=, xy0.1,t0.004 初始条件为：ui0,j1.5sin(2ix)sin(2jy) 请写出时间差、空间差分的差分格式，并用Fortran语言写出计算程序。 （启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件）。 要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合Fortran语言基本标准。(20分) 答：微分方程的差分格式为:1n1uin,jui,j2tui1,jui0,j2tcuin1,juin1,j2xui01,jui01,j2xduin,j1uin,j12xui0,j1ui0,j12x0 0 启动时刻的差分格式为: cd程序略. 3．试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。（20分） xxu1 其中fvgzx0x(i1i1) t2xv fu0 txz Hux0 t 解：设方程有如下形式的波动解 uueI(kidt) vveI(kidt) zzeI(kidt) 将此解代入差分方程组，并进行消元得 ^^^IufvgzIsinkd/d0 Ivfu0 IzHuIsinkd/d0 进行消元得频率方程 ()212sin2kd/2d2 f相应的群速度公式为 f22sin2kdcg 2d由此可知当kd=π/2时，群速度为0，波能量不能频散。当kd=π时，重力惯性波变为纯惯性振荡。 4．已知P坐标系中的连续方程为：(坐标系中的连续方程。(20分) 解：对任意变量F(x,y,p,t)F[x,y,(x,y,p,t),t]有： PPtPPtuv)p0，其中，请推导出PsPtxyp(FFF)P()()p (1) sss其中s表示x，y，或者t 又 ((ppt)ppt1 (2) )p[]p(ppt)()21s(ppt)sss()s把（2）代入（1）则有：(FFF （3） )P()sssuv)p0展开有： xyp利用（3）把P坐标系中的连续方程((Vuv)•h0 （4） xypdpd(pt) （5） dtdt111[][(Vh•)] （6） pt又所以：把（6）代入（4），整理后则有： •(Vh)0 （7） t（7）即是坐标系中的连续方程。 5．原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？(10分) 答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区别。 (2)过滤模式受到的较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。 (3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描述天气发展的慢过程。 (4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。 (5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所取的时间步长约比过滤模式小一个量级。 6．什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法 可以克服非线性不稳定? (10分) 答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象. 混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为2x,如果非线性作用产生波长小于2x的分量,则网格系统不能正确的分辨,而把它错误的表示成某一种波长大于2x的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差. 非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关. 克服的办法: (1) 进行空间和时间平滑,滤去短波分量 (2) 在方程中加入人工扩散项 (3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式 (4)构造守恒的差分格式.