高等数学

一、单选

1，下列表示AB两个集合的交集的是：A

A, A∩B B, A∪B C, A∈B D,A/B 2，函数y=f(x)的自变量是：A

A,x B,y c,f(x) D,无法确定 3，，函数f(x)=

19x的定义域为：A

A, x>0 B,x>9 c,x=9 D ,x<9 4，函数yx2的定义域是 A A, ,, B, 5，下列为偶函数的是C A,

YsinX

(0,)

C,

2(1,) D,x<1

B, B,y=x C,

yx D,Y=2x

x6，函数yloga(a1)在(0,)的单调性是 A

A,单调增加 B,单调减少 C,不一定 D,无单调性

7，函数yA,

y1x1x1x1x的反函数是 C

3yx1

B, C,

y1x1x y=3x

8，下列哪个区间是闭区间C

A ,a＜x＜b B,a＜x≤b C,a≤x≤b D, a﹤x 9，函数y=f(x)的因变量是：B

A,x B,y c,f(x) D,无法确定

x10，,函数yloga的定义域是B

A, C, (1,) B,(0,) C一切实数 D,x=0

C

11，函数yx21的定义域为 A,一切实数 B,x≠1 C, ,11, D,x﹤1 12，下列函数为奇函数的是B

A，yx2 B,y=x C,

13，函数y=sinx在,内A

22ycosx D,y=x+1

A,单调增加 B,单调减少 C,不一定 D,无单调性

14，可去间断点属于A

A.第一类间断点， B，第二类间断点 C,跳跃间断点 D,无穷间断点A 15，函数y1x的定义域为

A,x<1 B,x>1 C,一切实数 D,x=0 16，函数y=2x在（0，1）内A

A,单调增加 B,单调减少 17，下列是奇函数的是C A,yx31 B, Y2X4X1 18，函数yax的值域是B

A, ,, B,(0,) 19，ytan(1x)的定义域是A A, x2n121,nz ,B ,, 20，

xlimxc（c为常数）的极限为B

0 A,1 B,c 21，函数y1x1x的反函数是 C

A, y1x1x B, yx31

22，下列表示空心领域的是D A, U(a,b)

B, U(a,) 23, f(x)x31,, f(0)等于 D

A,1, B,2 24,f(x)=sinx,则f()等于 A

A,0 B,1 25,f(x)=2cosx,则f()等于 B

A,0 B,2 26, f(x)3，则把3称为函数f(x)的 B

A,领域 B,下界 C,不一定 D,无单调性 C,

Ylgxx21

D，y=2x+3

C, (1,)

D,x﹥0

C,

22,2k D,( (,2)

c，0 D,—1 C,

y1x1x D, y=3x

C, U(,a) D, U0(a,)

C,3 D, 1 C, 1 D,2 C,1 D,4 c，上界 D,值域

27，如果函数f(x+T)=f(x), xD,则把T称为函数f(x)的 C

A,常数 B，界限 C,周期 D,集合 28，y=cosx 的周期是 C A, 3 B,

 C, 2 D,  229,如果y=f(u),u=(x),就称y是x的 A

A,复合函数， B,反函数 C,等价函数 D,无法确定

1、方程x2y2z22x4y2z0表示的曲线是（ A ）

（A）球心为（1，－2，－1），半径为6的球面 （B）球心为（1，－2，－1），半径为6的球面 （C）球心为（－1，2，－1），半径为6的球面 （D）球心为（０，０，０），半径为26的球面

2、幂级数

nxn1n的收敛区间为（ C）

（A）（-3，3）； （B）(,)； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。 3、设：x2y2z21,z0,则三重积分I0zdV等于（C ）

（A）4（C）

020d2drsincosdr； （B）2ddr2sindr；

000013120d2dr3sincosdr； （D）0120ddr3sincosdr。

001xy,224、设函数f(x,y)xy0,x2y20x2y20 ,则在点（0，0）处（ C ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 5、下列命题正确的是（ B ）

(A) 若zf(x,y)在(x0,y0)处可微，则fx(x,y),fy(x,y)在该点处连续； (B) 若zf(x,y)在(x0,y0)处可微，则fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在； (C) 若zf(x,y)在(x0,y0)处fx(x0,y0),fy(x0,y0)都存在，则f(x,y)

在(x0,y0)处连续；

（D）若zf(x,y)在(x0,y0)处的二阶偏导数都存在，则fx(x,y),fy(x,y)

在(x0,y0)处连续。

6、下列命题正确的是（ B ）

(A) 若zf(x,y)在(x0,y0)处可微，则fx(x,y),fy(x,y)在该点处连续； (B) 若zf(x,y)在(x0,y0)处可微，则fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在；

(C) 若zf(x,y)在(x0,y0)处fx(x0,y0),fy(x0,y0)都存在，则f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（D）若zf(x,y)在(x0,y0)处的二阶偏导数都存在，则fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)处连续。

7、设为三个坐标平面及平面x2yz1所围成的区域，则(xdxdydz=（ C ）

 （A）

112； （B）124； （C）148； （D）196。 8、若级数

an,

n都收敛，则（ D ）

n1bn1 (A)

(anbn)收敛； (B) n1(a2nb2n)收敛 ；

n1 (C)

(1)n1(anbn)收敛； (D)

(anbn)收敛。

n1n19、设函数f(x,y)xyx2y2,x2y20 ,则在点（0，0）处（ C 0,x2y20 （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；

（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 10、幂级数

nxn的收敛区间为（ C ）

n1（A）（-3，3）； （B）(,)； （C）（-1，1）； （D）[-1，1]。二、填空

1，y11x2x2的定义域为 。 2, yln(x21)arcsin1x1的定义域为:,2(1,)

3，数列y1(1)nn的极限为 0 。

4，数列y=yn1n的极限为 1 。

5, x1,f(x)x1x21的极限为 1/2 。

6，y=cosx的导数为 _-sinx 。

xx的导数为 317，yx22 。

）

8，函数cos29的近似值为 0.8747 。

1、函数f(x,y)xysin(x2y)在点（0，0）处沿l(1,2)的方向导数

fl(0,0)= 5 。yx2(1y)222、设f(xy,)xy，则f(x,y)=

x(1y)x2y21,其周长为a，则曲线积分(2xy3x24y2)ds 12a 。 3、设Ｌ：

L434、函数uln(x2y2z2)在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度gradu|M

244 ijk

999P(x)dxP(x)dx5、一阶线性齐次微分方程yP(x)yQ(x)的通解为 ye(Q(x)edxc)



6、设zex2y2，则dz(1,1)=edx+edy

x(t) 7、设曲线L的参数方程表示为(x),则弧长元素ds

y(t)2(t) 8

、

一

阶

2(t)dt 。

线

性

齐

次

微

分

方

程

yP(x)yQ(x)的通解为

P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxc)

9、函数uln(xyz)在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度gradu|M

222244ijk 999x2y21,其周长为a，则曲线积分(2xy3x24y2)ds 12a 10、设Ｌ：

L43

三、计算题

x,2x11，设函数f(x)3，求其反函数f1(x)

21x2x解，设y=f(x)，则由函数的定义得

213y,23y13y,y33 xy,1x4y,1y4将x,y互换，得所求反函数为

213y,y33 f(x)yxy,1y41cosx2，求lim

n0x2解：

xxsin21lim(2)21 原式=limx0x2x0x24()2223n13，求lim

n2n1113lim3limnxnn2 解，原式=limx1132lim2limnnnntanx4，求lim

x0ln(13x)2sin2因为当x0时，tanx～x,ln(1+3x)～3x,所以

x1tanx lim=limx03xx0ln(13x)3

1、已知f(xy,)xy，求： （1）f(x,y) （2）求

yx22fx(x,y)，

fy(x,y)

uxy解：（1）令y ，反解得

vx2ux1v uvy1v2x2(1y)u2(1v)uuv由原方程得 f(u,v) 即 f(x,y) 1y1v1v1v2x(1y)2x2 （2）fx(x,y) ，fy(x,y) 21y1y

xuy1xy, 2、设xx(u,v),yy(u,v)是由方程组所确定的隐函数，求uvxyv0解：对所给方程组两端求微分得

udxdyxdu dxvdyydvxvduydvdx(uv1)xxvyyu,解得 所以u1uvv1uvdyuydvxdu(uv1)3、求函数f(x,y)

解：{（x,y）|0< x2 + y2 < 1,y2

4x2y22ln(1xy)的定义域，并求

1(x,y)(,0)2limf(x,y)

4x},

23ln4

4、计算积分I(3x2y)dxdy，其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域。

D

解：I=

20dx202x03xdydx022x02ydy

2 =

3x(2x)dx220(2x)dx

220=

202xdx2xdx4dx=

0203

四、应用题

某厂要用铁板做成一个体积为2cm的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

解：设水箱的长为x m,宽为y m,则其高为

3

2m。此水箱所用材料 xy22的面积 A=2（xy+y+x）(x>0,y>0)

xyxy2令 Ax2(y2)0

x2 Ay2(x2)0

y22333332 解方程组得 x2,y2，xy22所以当水箱的长、宽和高都为

32 m时，水箱所用的材料最省。