2015-2016学年山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学
试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共计50分） 1．设i是虚数单位，复数A．3﹣2i
( )
B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i
2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若CRA⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4） D．（0，4）
3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
4．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”； ③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”． 其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围
是( )
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3]
D．[﹣3，﹣]
6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A．12
B．24 C．36 D．48
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7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )
A． B． C．
D．
8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( ) A．向左平移C．向左平移
9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（
），则sinx0的值为( )
，
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
•，g（x）=
2+2
﹣，则f
D．向右平移个单位长度 个单位长度
A． B． C． D．
10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( ) A．（0，） B．（
，e）
C．（0，
] D．[
，）
二、解答题（每小题5分共计25分）
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11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．
12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．
13．函数y=lg（1﹣）+
的定义域是__________．
14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且
的值为__________．
15．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；
②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c； ③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题： 16．已知函数f（x）=
sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的
距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=求a，b的值．
17．已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=
，f（C）=0，sinB=3sinA，
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
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19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，平面ABCD． （I）求证：AE∥平面BCF； （Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．
20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）≤
21．（14分）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO． （Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．
﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
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2015-2016学年山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月
考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共计50分） 1．设i是虚数单位，复数A．3﹣2i
( )
B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i
【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：复数
=
=
=3﹣2i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若CRA⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4） D．（0，4） 【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用． 【专题】集合．
【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}， ∴CRA={x|x2≤a}，
若a＜0，则CRA=∅，满足CRA⊆B， 若a≥0，
则CRA={x|x2＜a}={x|﹣若CRA⊆B，
则≤2，解得0≤a≤4， 综上a≤4， 故选：A
＜x＜
}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．
3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0． ∴c＜b＜a． 故选：C．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
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4．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”； ③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”． 其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．
【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④． 【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，
故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0， 即x＞sinx恒成立，故①正确；
命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误； “命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立， “命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，
故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误； ④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确． 其中正确结论的个数是2个， 故选：B
【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．
5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围
是( )
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] 【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
D．[﹣3，﹣]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论． 【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0） 作出不等式组对应的平面区域如图：
当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点， 故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=斜率k=
，
x
，
要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，
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即k=
＞0，即m＜0，满足kCD≤k＜kAB，
此时AB的斜率kAB=2， 由
解得
，即C（2，1），
CD的斜率kCD==，
由，解得，即A（2，4），
AD的斜率kAD=即≤k≤， 则≤
≤，
=，
解得﹣3≤m≤﹣， 故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．
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【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到， 所以棱锥的体积为：故选：A．
=12．
【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．
7．设0＜a＜1，则函数y=
的图象大致为( )
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用0＜a＜1，判断ax，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解ax﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．
【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜ax＜1，﹣1＜ax﹣1＜0，
＜﹣1，
x＜0时，ax＞1，ax﹣1＞0，
＞0，
观察函数的图象可知：B满足题意． 故选：B．
【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．
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8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( ) A．向左平移C．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
•，g（x）=
2+2
﹣，则f
D．向右平移个单位长度 个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+
），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
•=（2sinxcosx）=sin2x，
）=sin2（x+
），
【解答】解：由题意可得函数f（x）=g（x）=
2+2
﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+
个单位长度，可得f（x）的图象，
故把g（x）的图象向右平移
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（
），则sinx0的值为( )
，
A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+公式求得sinx0 =sin[（x0+
）﹣
）的值，可得cos（x0+]的值．
=
，解得ω=1
）的值，再由两角差的正弦
【解答】解：由函数的图象可得A=5，且
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再由五点法作图可得 1•+φ=，解得 φ=
）．
．
故函数的解析式为 f（x）=5sin（x+再由f （x0）=3，x0∈（解得 sin（x0+sinx0 =sin[（x0+=
．
，
），可得 5sin（1•x0+
）=﹣，
﹣cos（x0+
）=3，
）=，故有cos（x0+ ）﹣
]=sin（x0+
）cos ）sin=﹣（﹣）
故选A．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，
由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．
10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( ) A．（0，） B．（
，e）
C．（0，
] D．[
，）
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．
【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：
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当a≤0时，显然，不合乎题意， 当a＞0时，如图示，
当x∈（0，1]时，存在一个零点， 当x＞1时，f（x）=lnx， 可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]） g′（x）=
=
，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数， 若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数， 此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，
∴
解得，，
在区间（0，3]上有三个零点时，
，
故选D．
【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．
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二、解答题（每小题5分共计25分） 11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1． 【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的
值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值． 【解答】解：∵sinα﹣cosα=∴sin（α﹣
）=1，
sin（α﹣
）=
，
∵α∈（0，π）， ∴α﹣
=
，即α=
，
则tanα=﹣1．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）． 【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥， ∴﹣2+2m=0，解得m=1，
则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）． 故答案为：（﹣4，7）．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
∴x≥log23，
即函数的定义域为[log23，+∞）， 故答案为：[log23，+∞）
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
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14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且
的值为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由
=
，得=，由它们的
侧面积相等，得=，由此能求出．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h， ∵
=
，∴
=，
=1， =（）2×=．
∵它们的侧面积相等，∴∴
=，∴
=
故答案为：．
【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．
15．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；
②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c； ③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号） 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑．
【分析】①利用命题的否定即可判断出；
②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；
③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．
④利用偶函数的性质即可得出．
【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；
②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，
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由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；
③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：
，
因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确； ④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数． 由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确． 综上可知：只有①④正确． 故答案为：①④．
【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
三、解答题： 16．已知函数f（x）=
sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的
距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=求a，b的值．
，f（C）=0，sinB=3sinA，
【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可． 【解答】解：f（x）=
sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣
）﹣1，
∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴
=π，即ω=1，
）﹣1，
≤
+2kπ，k∈Z，得到﹣
+kπ，kπ+
+kπ≤x≤kπ+
，k∈Z，
则f（x）=sin（2x﹣（Ⅰ）令﹣
+2kπ≤2x﹣
则函数f（x）的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；
）=1，
（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣∴2C﹣
=
，即C==
， 得：b=
，
）﹣1=0，即sin（2x﹣
由正弦定理
把sinB=3sinA代入得：b=3a，
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由余弦定理及c=得：cosC===，
整理得：10a2﹣7=3a2， 解得：a=1， 则b=3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=
【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
【分析】（I）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）由（I）可得bn=
=，；利用“裂项求和”即可得出
数列{bn}的前n项和为Tn，进而得到证明． 【解答】（I）解：∵2Sn+an=1， ∴当n≥2时，2Sn﹣1+an﹣1=1， ∴2an+an﹣an﹣1=0，化为当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=．
∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为． ∴
．
．
（II）证明：bn=
=
=
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=，
∴数列{bn}的前n项和为Tn==
∴Tn＜．
【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
．
+
+…+
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用． 【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形， 取AC中点O，连接BO，DO， 则BO⊥AC，DO⊥AC，… 又∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上， ∵BE和平面ABC所成的角为60°， ∴∠EBF=60°， ∵BE=2，∴，…
∴四边形DEFO是平行四边形，
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∴DE∥OF，
∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC， ∴DE∥平面ABC．…
（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG， ∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F， ∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．… Rt△EFG中，∴
．
．… ，
，
．
即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，
=（﹣1，﹣，0）∴，=（0，﹣1，）， 平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为
），
则∴
，∴
．…
，
所以
又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 二面角E﹣BC﹣A的余弦值为
．…
，
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【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，平面ABCD． （I）求证：AE∥平面BCF； （Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF． 【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形， ∴AD∥BC，DE∥BF， ∵AD∩DE=D，BC∩BF=B， ∴平面ADE∥平面BCF， 又∵AE⊂平面ADE， ∴AE∥平面BCF…5分
（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2， ∴对角线AC=4， 又∵O为GC中点， ∴AO=3，OC=1
又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，
∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4， 又AC2=16，
∴AC2=AF2+CF2， ∴CF⊥AF，
又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴FO⊥BD 又∵AC⊥BD
∴BD⊥平面AFC， 又∵EF∥BD， ∴EF⊥平面AFC ∴EF⊥CF，
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又EF∩AF=F
∴CF⊥平面AEF…12分
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）≤
﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；
（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．
【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当m＞0时，令f′（x）＞0，解得
，令f′（x）＜0，解得
．
．
所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（（2）因为即令g（x）=
）．
在[1，+∞）上恒成立． 在[1，+∞）上恒成立，
，
则，
（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；
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（2）当，即时，
若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0， 即
，故当x≥1时，f（x）
．
恒成立．
综上所述，所求的正实数m的取值范围是
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．
21．（14分）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO． （Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用． 【分析】（Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可． 【解答】（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1， 由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC， ∴DA⊥AO．从而， 在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO． 又∵OC=OB=2，∠ABC=45°， ∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC， ∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O， ∴CO⊥平面PAB． 故CO⊥PD．
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∵CO∩DO=O， ∴PD⊥平面COD．
（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图． 则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1）， ∴
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴设平面BDC的法向量为
是平面DCO的一个法向量，
，∴
，∴
， ，
令y=1，则x=1，z=3，∴∴
，
，
由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股
定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．
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