三角比的各个知识点和公式

锐角三角比的定义

sinA=角A的对边/斜边

cosA＝角A的邻边/斜边

tanA=角A的对边/邻边

cotA=角A的邻边/对边

同角的三角比关系

tanA×cotA=1

互为余角的三角比关系

sinA=cos(90-A)

cosA=sin(90-A),

tanA=cot(90-A)

cotA=tan(90-A)

-

直角三角形边、角关系

边与边a^2+b^2=c^2

角与角∠A+∠B=90°

边与角：锐角三角比概念

所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。

任意角的三角比

象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角

其三角比的定义：

正弦sinθ=y/r

余弦cosθ=x/r

正切tanθ=y/x

余切cotθ=x/y

正割secθ=r/x

-

余割cscθ=r/y

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝ tanα

cot（π＋α）＝ cotα

-

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝ cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五

-

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六

π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

-

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

诱导公式记忆口诀

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（单变双不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

-

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

单变双不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． ．

还有一个与英语有关的记忆口诀，来判断符号。

All Station To Center.每个站都能到车站。

All 代表第一象限所有都为正。

Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。

To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。

Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。

-

做题时若需要考虑正负，一下子想不起来，可画简略坐标，在四个象限非别表上A S T C，就一目了然了。

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

tanα=sinα/cosα或者tanα=secα/cscα，可以简记为s/c

cotα=cosα/sinα或者cotα=cscα/secα，可以简记为c/s

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

-

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ) / (1－tanα ·tanβ)

tan（α－β）＝(tanα－tanβ) / (1＋tanα ·tanβ)

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

-

tan2α＝2tanα / [1－tan^2(α)]

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2

cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2

tan^2(α/2)＝(1－cosα) / (1＋cosα)

*tan(α/2)=sinα / (1+cosα)=(1-cosα) / sinα

万能公式

⒌万能公式

sinα＝2tan(α/2) / [1＋tan^2(α/2)]

cosα＝[1－tan^2(α/2)] / [1＋tan^2(α/2)]

tanα＝2tan(α/2) / [1－tan^2(α/2)]

三倍角公式

-

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

tan3α＝[3tanα－tan^3(α)] / [1－3tan^2(α)]

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[( α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

-

cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）] 1．正弦定理: abc2RsinAsinBsinC 或变形： a:b:csinA:sinB:sinC . 2．余弦定理：

a2b2c22bccosA222bac2accosBc2b2a22bacosC

-

或

b2c2a2cosA2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ab.

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：

1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

ABCABCABCcos,cossin,tancot222222

sin.

-

6．求解三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；

（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；

（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；

（4）检验：检验上述所否符合实际意义。

补充：1、2、sinα·cosβ=1/(tanα+cotα)

2、角的集合：（1）与角a终边重合的角：{B|B=2kπ+a，K∈Z}

（2）关于X轴对称：{B|B=2kπ-a，K∈Z}

（3）关于Y轴对称：{B|B=2kπ+π-a，K∈Z}

（4）关于原点对称：{B|B=2kπ+π+a，K∈Z}

（5）与角a终边垂直：{B|B=2kπ±π/2+a，K∈Z}

（6）与角a关于直线y=x对称：{B|B=2kπ±π/2-a，K∈Z}

3、辅助角公式：Asinα+Bcosα= （A^2+B^2)^(1/2)sin(α+β)

-

-

其中sinβ=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cosβ=A/(A^2+B^2)^(1/2)