二次根式
课题 §21.1二次根式（概念及基本性质） 课型 新知课3课时 1． 了解二次根式的概念及基本性质． 教 2． 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生概括、归纳能力． 学 3． 通过对二次根式概念和基本性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 目 4． 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现标 的乐趣，并提高应用的意识. 教学重点 教学难点 二次根式的概念和基本性质. 二次根式基本性质的灵活应用. 教具 准备 主要教学过程 个人修改 教 【活动1】 学生根据所学知识填写课本第2页“思考”栏目，教师提问： ⑴所填的结果有什么特点？ ⑵平方根的性质是什么？ 已知：反比例函数y=，那么它的图象在第一象限⑶如果把上面所填的式子叫做二次根式，那么你能用数学符横、•纵坐标相等的点的坐号表示二次根式吗？ 标是_________． （学生可能碰到的困难：①是否会想到用字母表示数；②是否能概括出≥0这一条件.） （备用问题）议一议： 学 、 、、-、 2．0的算术平方根是多少？ 过 3．当a<0，有意义吗？ 程 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 1．-1有算术平方根吗？ 、x≥ 、、y•≥0）． （x>0）、例2 当x是多少时，【巩固练习】 、、-、、（x≥0， 在实数范围内有意义？ 在实数范围内有意义？ +在实数范围内有意义．） 1．A 2．D ”称为二次根号． 3．B 1.课本第3页练习1、2、3 2.课本第3页“思考”栏目 【拓展应用】 例3 当x是多少时，+（答案：当x≥-且x≠-1时，例4 (1)已知y=(2)若+++5，求的值．(答案: ) =0，求a2011+b2011的值．(答案:0) 【归纳小结】 本节课要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负 数． 【作业设计一】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x 1．2．（a≥0） 3．没有 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） 1. A． B． C． D．2. x>-且x≠0 3. 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 二、填空题 C． D．以上皆不对 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 4．B 5．a=5，b=-4 2．当x是多少时， 3．若 4.使式子++x2在实数范围内有意义？ 有意义，则=_______． 有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且值． +2=b+4，求a、b的【活动2】 问题：比较结论： 非负性. 【做一做】根据算术平方根的意义填空： （2）=_______；（2）=_______；（2）=______；（与0的大小. （a≥0）是一个非负数．即≥0. 具有双重）2=_______； （结论： （）2=______；（）2=a（a≥0） ）2=_______；（）2=_______． 例1 计算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 【巩固练习】 计算下列各式的值： （）2 （ ）2 （）2 （）2 （4）2 【拓展应用】例2 计算 1．（4．（）2（x≥0） 2．（）2 ）2 3．（）2 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 【归纳小结】 本节课应掌握： 1． 2．（（a≥0）是一个非负数； ）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）． 【作业设计二】 一、选择题 1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（-）2=________． 2．已知有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3(5) ）2 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）3．已知+ （4）x（x≥0） =0，求xy的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 【活动3】问题：填空 =_______；=_______；=______； =________；=________；=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；=． =a（a≥0） 因此，一般地：例1 化简 （1） （2）== （3）=3 （2）=5 （4） （4）===4 =3 解：（1）（3）【巩固练习】 教材P5练习2． 【应用拓展】 例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题． （1）若 （2）若 （3） 分析：∵=a，则a可以是什么数？ =-a，则a可以是什么数？ >a，则a可以是什么数？ =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为 （2）因为=a，所以a≥0；新 课 标 第 一 网 =-a，所以a≤0； =a，要使=-a，要使>a，即使a>a所以a>a，即使-a>a，a<0综上，=│a│，而│a│要大于a，只有什（3）因为当a≥0时不存在；当a<0时，a<0 例3当x>2，化简-． 【归纳小结】本节课应掌握： =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，用拓展． 【作业设计三】 一、选择题 ＝－a的应 1．的值是（ ）． A．0 B． 2．a≥0时， C．4、 D．以上都不对 、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A． C．=<≥-<- B． D．->>>-= 二、填空题 1．- 2．若=________． 是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当a=9时，求a+人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+乙的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1； =a+（a-1）=2a-1=17． 的值，甲乙两两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值． +。 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ 教后反思： 课题 §21.2二次根式的乘除（一） =·课型 新知课 教 理解·＝（a≥0，b≥0），学 简 目 ·标 由具体数据，发现规律，导出（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重点 ·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用． 教学发现规律，导出难点 教具 准备 ·＝（a≥0，b≥0）． 主要教学过程 个人修改 教 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1） （2） （3）×××=_______，=_______，=________，=______； =________． =_______． ， ， 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． ×_____， ×_____， 学 ×过 ________ 程 （1） （3） （5） 2．利用计算器计算填空 ×××__________________，（2），（4）． ××____________ 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二 次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝．（a≥0，b≥0） 反过来: =·（a≥0，b≥0） 例1．计算 （1）× ·=＝ （a≥0，b≥0）计算即可． × （2）× （3）× （4） 分析：直接利用 解：（1）× （2）（3）××=== =9 （4） 例2 化简 （1）（4） 分析：利用 解：（1） （2） （3） （4） （5）=×== （2） （5）======××××·× （3） （a≥0，b≥0）直接化简即可． =3×4=12 =4×9=36 =9×10=90 ==3× ×=3xy 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ① × ②3; ×2; ③; ; · (2) 化简: 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）×=4××=4×=4=8 解：（1）不正确． 改正：=＝×=2×3=6 （2）不正确． cm和cm，•改正：= 五、归纳小结 ＝4 ×=×== 本节课应掌握：（1）=· 第一课时作业设计 一、选择题 ·＝=（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0）及其运用． 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为那么此直角三角形斜边长是（ ）． A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm 2．化简a A． 3．等式的结果是（ ）． B． C．- D．- 1．B 成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．4C．4 二、填空题 1．=_______． ×2×3=8 =7 B．5 D．5×4×4=20=20 2．C 2．自由落体的公式为S=2gt（g为重力加速度，它的值为10m/s2），3.A 若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一 4.D 部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时， 容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2= 1．13 2．12s 验证：2=×== 1．设：底面正方形铁桶的== 底面边长为x， 则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2， （2）3= 验证：3=×== x=30 == 同理可得：4 5，…… 通过上述探究你能猜测出： a你的结论． =_______（a>0）,并验证答案: 2． a= 验证：a= ===. 教后反思： 课题 §21.2二次根式的乘除（二） 课型 新知课 教 学 理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 目 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式标 及利用它们进行计算和化简． 教学重理解点 =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】（学生活动）请同学们完成下列各题： =________， =________， 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1）=________，=_________； （2） =________； 教 学 （3） 过 程 规律：_____；_____；______=________，=_________； （4）=________． ； _____． 3．利用计算器计算填空: （1）=_________，（2）=_________，（3）（4）=________． 规律：______；_______；__________. =______， ； 【探索新知】 一般地，对二次根式的除法规定： =（a≥0，b>0），反过来，=下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 【例题讲解】 （a≥0，b>0） 例1．计算：（1） （2） 分析：上面4小题利用 例2．化简： = （a≥0，b>0）便可直接得出答案． 答案:6 （3） （4） （3） （4） （1） （2） 分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 【随堂练习】新-课-标-第-一-网 教材P14 练习1． 【应用拓展】 例3．已知的值． ，且x为偶数，求（1+x）分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和=（a≥0，b>0）及【课后练习】 一、选择题 1．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 2．阅读下列运算过程： ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A．2 B．6 C． D． 教后反思：