6．2.1 向量的加法运算
考点 平面向量加法的几何意义 学习目标 理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义 掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算 数学抽象、数算 数学抽象、直观想象 核心素养 数学抽象、直观想象 平行四边形法则 和三角形法则 平面向量加法的运算律
问题导学
预习教材P7－P10的内容，思考以下问题： 1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？
1．向量加法的定义及运算法则 定义 前提 作法 三角法则 形法则 图形 平行法则 四边形法则 结论 前提 作法 已知不共线的两个向量a，b 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，结论 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 已知非零向量a，b →→→在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC →向量AC叫做a与b的和，记作a＋b， →→→即a＋b＝AB＋BC＝AC b为邻边作▱OACB →对角线OC就是a与b的和
图形 规定 ■名师点拨 (1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律
交换律 结合律 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 C．4 答案：D
→→→→
如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则AC＋BA＝( )
B．3 D．5
A．a C．0
B．b D．a＋b
答案：B
→→→
在正方形ABCD中，|AB|＝1，则|AB＋AD|＝________． 答案：2
平面向量的加法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解】 法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平→→
面内任取一点O，作向量OA＝a，接着作向量AB＝c，
→→
则得向量OB＝a＋c，然后作向量BC＝b， →
则向量OC＝a＋b＋c为所求．
→
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O，作OA＝
a，OB＝b；
→
(2)作平行四边形AOBC，则OC＝a＋b； →
(3)再作向量OD＝c； (4)作平行四边形CODE，
→→→
则OE＝OC＋c＝a＋b＋c.OE即为所求．
→
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
→→→
解：(1)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(1)． →→→
(2)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(2)． →→→
(3)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(3)．
平面向量的加法运算
化简： →→(1)BC＋AB； →→→(2)DB＋CD＋BC； →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA. →→→→→
【解】 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→(2)DB＋CD＋BC →→→＝BC＋CD＋DB →→→＝(BC＋CD)＋DB →→
＝BD＋DB＝0.
→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA →→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA →→→→＝AC＋CD＋DF＋FA →→→→→
＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
1．下列等式不正确的是( ) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b； →→
②AB＋BA＝0； →→→→③AC＝DC＋AB＋BD. A．②③ C．①
B．② D．③
→→→→→
解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为AB＋BA＝0，故②不正确；DC＋AB＋BD＝→→→→
AB＋BD＋DC＝AC成立，故③正确．
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
→→→(1)DG＋EA＋CB； →→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB.
→→→→→→→→→→→→
解：(1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE. →→→→→→→→→→→→→
(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.
向量加法的实际应用
某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中
游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
→→→→
【解】 如图，设此人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为→→→
邻边作▱OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC.
→
由勾股定理知|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向
量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏
东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
→→
解：设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
→→则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|； →→→
两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC. →→
依题意有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， →所以|AC|＝
2
→2→2|AB|＋|BC|
2
＝800＋800＝8002(km)，
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.
→→→→
1．化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于( ) →
A.QP →C.SP
→→→→→→
解析：选B.OP＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ.
→→→
2．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则一定有( ) A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形
→→→→→
解析：选D.由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______． 解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.
→B.OQ →D.SQ
答案：13
4.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
→→(1)AO＋AC； →→(2)DE＋BA.
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO， →
则向量AF为所求．
1
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，
3→
则向量BG为所求．
[A 基础达标]
→→→
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于( ) →
A.AB →C.CD
→B.BC →D.DA
→→→→→
解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB＝AC＋CB＝→
AB.故选A.
→→→→
2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC＋AB＋DO＝( )
→A.CD →C.DA
→B.DC →D.DO
→→→→→→→→→→→→→→
解析：选B.OA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB＋BC＝DC.
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3 km ”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km C．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝＋b|＝2 km，故选B.
13
，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a
→→→
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( )
A．1 C．3
→→
解析：选B.由正六边形知FE＝BC， →→→→→→→所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD， →→→→
所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B.
5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向 B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向 C．若a与b同向，则a＋b与a同向 D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋
B．2 D．23
b与a同向，也与b同向．
→→→→→
6．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．
→→→→→→→→→→→
解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC. →
答案：AC
→→→
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________． 解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形， →→
又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，
→→→
所以|BC＋CD|＝|BD|＝1. 答案：1
→→→→
8．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，给出下列结论： ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|. 其中正确的是________．
→→→→
解析：因为在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．
答案：①③
9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状： →→
(1)AD＝BC；
→→→→(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.
→→
解：(1)因为AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC， 所以四边形ABCD是平行四边形．
→→→→
(2)因为AB＝DC且|AB|＝|AD|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．
→→
10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|. →→
解：如图，因为|OA|＝|OB|＝3， 所以四边形OACB为菱形， 连接OC，AB，则OC⊥AB， 设垂足为D. 因为∠AOB＝60°， →
所以AB＝|OA|＝3.
33
所以在Rt△BDC中，CD＝.
233→
所以|OC|＝|a＋b|＝×2＝33.
2
[B 能力提升]
→→
11．已知有向线段AB，CD不平行，则( ) →→→A．|AB＋CD|>|AB| →→→B．|AB＋CD|≥|CD|
→→→→C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD| →→→→D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|
解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，
b共线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.
→→→
12．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝______.
→→→→
→→→
解析：因为PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形． 又P为△ABC的外心， →→→所以|PA|＝|PB|＝|PC|. 因此∠ACB＝120°. 答案：120°
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．
→→→①|AB＋AC|＝|BC|； →→→②|AB＋CA|＝|BC|； →2→2→2③|AB|＋|AC|＝|BC|.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠A＝90°， 所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC， →→→→
所以|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|. →→→→
②正确．|AB＋CA|＝|CB|＝|BC|.
→2→2→2
③正确．由勾股定理知|AB|＋|AC|＝|BC|. 答案：①②③
14．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
→→→→→
解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.
→→→→→
(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB， 因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线， →
|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.
[C 拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
解：如图，作▱OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°， 则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
→→→
设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的重力，→
且|OC|＝300 N.
→→
所以|OA|＝|OC|cos 30°＝150 3(N)， →→
|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.