分解因式专题突破
第一部分：专题介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之
中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与
技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维
能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分
组分解法和十字相乘法．本专题在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作
进一步的介绍．
第二部分：知识总结
1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
2、注意事项
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初
中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以
下几点。
（1）因式分解的对象是多项式：如把 5a 2bc 分解成 5a abc 就不是分解因式，因为 5a 2bc
1 1 1 1
1 是分式， 不是多项式；再如：把 1 分解为 ( 1)( 1) 也不是分解因式，因为
x2 x x x2
不是整式；
（2）分解因式的结果必须是积的形式：如 x2 x 1 x( x 1) 1 就不是分解因式，因为
结果 x( x 1) 1 不是积的形式；
1
（3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如： x2 x x2 (1 ) 就不是分解因式，
x
1
2因为 x (1 ) 是分式，不是整式；
x
（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
（5）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
（6） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
（7）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
3、搞清分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，
例如：
m(a b c)
整式乘法 分解因式
ma mb mc
因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确．
4、注意分解因式的一般步骤
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，
其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是
使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添
项）等方法；
分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止．
为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”： 分解因式并不难，首先提取公
因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注 意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解 因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”．
第三部分：方法介绍
1．提公因式法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从
而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．
这种方法实质上是逆用乘法分配律．
要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：
（1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：
首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；
其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式
9 x 2 y 18 x 2 y 12 x 2 y 2 z ，各项系数的最大公约数是 3，各项中都含有的字母
是 x, y, z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是 3x 2y ．
（2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项 的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如：
2 ( 2 7x2 y 9 x2y x y( 3x y)． =2 7x2 y 9 x y )9
（3）当某项全部提出后，剩下的是 1，而不是 0，如：m2 mn m m(m n 1) ，
而不能发生 m2 mn m m(m n) 的错误．
专项训练一、把下列各式分解因式。
1、 nx ny
5、 25 x2 y3 15 x2 y 2 8、a 2b 5ab 9b
2、 a 2 ab
3、 4 x3 6 x2
4、 8m2n 2mn
7、 3a 2 y 3ay 6 y
10、24 x2 y 12 xy 2 28 y3
6、12 xyz 9 x2 y 2 9、 x 2 xy xz
11、 3ma3 6ma 2 12ma 13、15 x3 y 2 5x 2 y 20 x 2 y 3
12、 56 x3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy 2 z 2 14、 16 x4 32 x3 56 x2
专项训练二：把下列各式分解因式。
1、 x(a b) y(a b) 3、 6q( p q) 4 p( p q) 5、 a(a b) (a b)2
7、 (2a b)(2a 3b) 3a(2a b) 9、 p( x y) q( y x) 11、 (a b)(a b) (b a) 13、 3( x 1)3 y (1 x)3 z 15、 mx(a b) nx(b a)
17、 (3a b)(3a b) (a b)(b 3a) 19、 x( x y)2 2( y x)3 ( y x)2
2、 5x( x y) 2 y( x y)
4、 (m n)( P q) (m n)( p q) 6、 x( x y)2 y( x y)
8、 x( x y)( x y) x( x y)2 10、 m(a 3) 2(3 a)
12、 a( x a) b(a x) c( x a) 14、 ab(a b)2 a(b a)2
16、 (a 2b)(2a 3b) 5a(2b a)(3b 2a) 18、 a( x y)2 b( y x)
20、 ( x a)3 ( x b) (a x)2 (b x)
2．运用公式法
把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫
运用公式法．
（1）平方差公式
a 2 b2 (a b)(a b) ，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差
的积运用平方差公式，应注意：
①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全 相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项 的平方减去互为相反数的一项的平方．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如：
( x y)2 ( x y)2 [( x y) ( x y)][( x y) ( x y)] 2 x(2 y) 4 xy （其中 x y
相当于公式中的 a ， x y 相当于公式中的 b ）．
（2）完全平方公式
a 2 2ab b2 (a b)2 ，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，
等于这两个数的和（或差）的平方． 运用平方差公式，应注意：
①熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（a 2 ）、后平方
（ b 2 ）、二倍之积在（ 2ab ）．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如：
（其中 x y 相当于公式中的 a ， ( x y)2 4( x y) 4 [( x y) 2]2 ( x y 2)2 ，
2 相当于公式中的 b ）．
③结果的符号应与第二项符号相同．
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，
即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
（2）(a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； （3）(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
（4）(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；
（6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例 1.把下列各式分解因式：
2 (1)x2 －4y
1
(2) a 2 3b 2
3
(3) (2 x y) 2 ( x 2 y) 2
(4) 4(x - y) 4 (y x) 2
例 2.把下列各式分解因式：
(1) x 2 4 x 4 (2) 3x 6x 2 3x 3
(3) 10
15
p 10 p 3 2
212 9
（4） 0.16 x xy y 2
25 25
2
因式分解(运用公式法):
(1)16a 2b 2 1
(2) x 4 y 4 81
(3) (2 x y) 2 ( x 2 y) 2
(4) x 2 12 x 36
(5) 25ab 20ab 4
2 2
1 2
(6) m 2 1 m
9 3
(8) ( x 2 48)2 x 2
(7) a b2 2a b 1
2
（9） 4x y 2 x y 2 2
（11）6 x 2 y 2 z 2 9
6x（12） x x x 9
2
2
2
（10） 4 xy 2 4 x 2 y y 3
（13） m n 2 4m n 1
（14） 3a 12a 2 12a 3
3、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例 1、分解因式： am an bm bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局
部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式= (am an) (bm bn)
= a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！
= (m n)(a b)
例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式= (2ax 10ay) (5by bx) 原式= (2ax bx) (10ay 5by)
= 2a( x 5 y) b( x 5 y) = x(2a b) 5 y(2a b) = ( x 5 y)(2a b) = (2a b)( x 5 y)
练习：分解因式 1、 a 2 ab ac bc
2、 xy x y 1
（二）分组后能直接运用公式
例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能 继续分解，所以只能另外分组。
解：原式= ( x 2 y 2 ) (ax ay)
= ( x y)( x y) a( x y) = ( x y)( x y a)
例 4、分解因式： a 2 2ab b 2 c 2
解：原式= (a 2 2ab b 2 ) c 2
= (a b) 2 c 2
= (a b c)(a b c)
练习：分解因式 3、 x 2 x 9 y 2 3 y
4、 x 2 y 2 z 2 2 yz
（2） ax 2 bx 2 bx ax a b
（6） 4a 2 x 4a 2 y b 2 x b 2 y （8） a 2 2a b 2 2b 2ab 1 （10） (a c)(a c) b(b 2a)
综合练习：（1） x 3 x 2 y xy 2 y 3
（5） a 4 2a 3 a 2 9
（3） x 2 6 xy 9 y 2 16a 2 8a 1 （4） a 2 6ab 12b 9b 2 4a （7） x 2 2 xy xz yz y 2 （9） y( y 2) (m 1)(m 1)
（11）a 2 (b c) b 2 (a c) c 2 (a b) 2abc （12）a 3 b 3 c 3 3abc
4、十字相乘法.
【基础知识精讲】
（1）理解二次三项式的意义；
（2）理解十字相乘法的根据；
（3）能用十字相乘法分解二次三项式；
（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法．
【重点难点解析】
（1）二次三项式
多项式 ax 2 bx c ，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax 2 称为二次项，bx 为一次
项，c 为常数项．例如， x 2 2 x 3 和 x 2 5x 6 都是关于 x 的二次三项式．
在多项式 x 2 6 xy 8 y 2 中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果
把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式．
在多项式 2a 2b 2 7ab 3 中，把 ab 看作一个整体，即 2(ab) 2 7(ab) 3 ，就是
关于 ab 的二次三项式．同样，多项式 ( x y)2 7( x y) 12 ，把 x＋y 看作一个整体，
就是关于 x＋y 的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
（2）十字相乘法的依据和具体内容
对于二次三项式 x2 px q ，如果能够把常数项 q 分解成两个因数 a、b 的积，并且
a+b 等 于 一 次 项 的 系 数 p ， 那 么 它 就 可 以 分 解 因 式 ， 即
x2 px q x2 a b x ab x a x b 。可以用交叉线来表示：
x x
+ a + b
十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘 法。
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用 (ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律
是：
（1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 x 2 px q ，如果能把常数项 q 分解成两个因
数 a，b 的积，并且 a＋b 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式
x 2 (a b) x ab ( x a)( x b)
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 公式中的 x 可以表示单项
式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符
号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中
绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 ax 2 bx c (a，b， a≠0)来说， c都是整数且
如果存在四个整数 a , a , c , c ，使 a a a ， c c c ，且 a c a c b ，
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2
2 1
那么 ax 2 bx c a a x 2 (a c a c ) x c c (a x c )(a x c ) 它的特征
1 2
1 2
2 1
1 2
1
1
2
2
是“拆两头，凑中间” 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1 的情况复
杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为
了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项
系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与
一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两
数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意
避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系
数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：5x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2)(5x 4)
（一）二次项系数为 1 的二次三项式
直接利用公式—— x 2 ( p q) x pq ( x p)( x q) 进行分解。 特点：（1）二次项系数是 1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例 1.已知 0＜ a ≤5，且 a 为整数，若 2 x2 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求 b2 4ac >0 而且 是一个完全平方数。
于是 9 8a 为完全平方数， a 1
的 a .
例 2、分解因式： x 2 5x 6
分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。
由于 6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有 2×3 的分解适合，即
2+3=5。 1 2
解： x 2 5x 6 = x 2 (2 3) x 2 3 1 3
= ( x 2)( x 3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一 次项的系数。
例 3、分解因式： x 2 7 x 6
解：原式= x 2 [(1) (6)]x (1)(6)
= ( x 1)( x 6)
1 -1
1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习 5、分解因式(1) x 2 14 x 24
(2) a 2 15a 36 (2) y 2 2 y 15
(3) x 2 4 x 5 (3) x 2 10 x 24
练习 6、分解因式(1) x 2 x 2
（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax 2 bx c
a c 条件：（1） a a a
（2） c c c
1 2
1
c 2 a2
1 2 b a c a c （3） b a c a c
1 2 2 1 1 2 2 1 2 bx c = (a x c )(a x c ) 分解结果： ax
1
1
2
2
1
例 4、分解因式： 3x 2 11x 10
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解： 3x 2 11x 10 = ( x 2)(3x 5)
练习 7、分解因式：（1） 5x 2 7 x 6
（2） 3x 2 7 x 2 （4） 6 y 2 11y 10
（3）10 x 2 17 x 3
（三）二次项系数为 1 的齐次多项式
例 5、分解因式： a 2 8ab 128b 2
分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解： a 2 8ab 128b 2 = a 2 [8b (16b)]a 8b (16b)
= (a 8b)(a 16b)
练习 8、分解因式(1) x 2 3xy 2 y 2 (2) m 2 6mn 8n 2 (3) a 2 ab 6b 2
（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式
例 6、 2 x 2 7 xy 6 y 2
1 -2y 2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y
解：原式= ( x 2 y)(2 x 3 y)
例 7、 x 2 y 2 3xy 2
把 xy 看作一个整体 1 -1
1 -2 (-1)+(-2)= -3
解：原式= ( xy 1)( xy 2)
（2） a 2 x 2 6ax 8 （2）12 x 2 11xy 15 y 2 （4） (a b) 2 4a 4b 3
（6） m 2 4mn 4n 2 3m 6n 2
练习 9、分解因式：（1）15 x 2 7 xy 4 y 2 综合练习 10、（1） 8x 6 7 x 3 1 （3） ( x y) 2 3( x y) 10
（5） x 2 y 2 5 x 2 y 6 x 2
（7） x 2 4 xy 4 y 2 2 x 4 y 3 （8） 5(a b) 2 23(a 2 b 2 ) 10(a b) 2 （9） 4 x 2 4 xy 6 x 3 y y 2 10 （10）12( x y) 2 11( x 2 y 2 ) 2( x y) 2
思考：分解因式： abcx 2 (a 2b 2 c 2 ) x abc
五、换元法。
例 8、分解因式（1） 2005 x 2 (2005 2 1) x 2005
（2） ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x 2
解：（1）设 2005= a ，则原式= ax 2 (a 2 1) x a
= (ax 1)( x a)
= (2005 x 1)( x 2005)
（2）型如 abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式= ( x 2 7 x 6)( x 2 5x 6) x 2
设 x 2 5 x 6 A ，则 x 2 7 x 6 A 2 x ∴原式= ( A 2 x) A x 2 = A 2 2 Ax x 2
= ( A x) 2 = ( x 2 6 x 6) 2
练习 13、分解因式（1） ( x 2 xy y 2 ) 2 4 xy( x 2 y 2 )
（2） ( x 2 3x 2)(4 x 2 8x 3) 90 （3） (a 2 1) 2 (a 2 5) 2 4(a 2 3) 2
例 9、分解因式（1） 2 x 4 x 3 6 x 2 x 2
观察：此多项式的特点——是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴 对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
1 1 )x22(x21 1
= ) ( x ) 6 解：原式= x (2 x x 6
x 2 x x x 2
1 1
设 x t ，则 x 2 t 2 2
x x 2 2 2
2t10 2 t 2) t 6 = x 2 ∴原式= x 2 （ t
2x2 5 x1 2 22x2t5t2x= =
x x
2 1
2 5x 2 x 2 2 x 1 ·x·x22x= x· 2 x x 5 = x
= ( x 1) 2 (2 x 1)( x 2)
（2） x 4 4 x 3 x 2 4 x 1 14 1 2 x21 )x=4x122 解：原式= x ( x 4 x 1
x x2 x 2 x
1 1
y 2 2 设 x y ，则 x 2
x x 2
∴原式= x 2 ( y 2 4 y 3) = x2 ( y 1)(y 3)
1 1
= x 2 ( x x 1)( x x 3) = x 2 x 1 x 2 3x 1
练习 14、（1） 6 x 4 7 x 3 36 x 2 7 x 6
（2） x 4 2 x 3 x 2 1 2( x x 2 )
2
2
六、添项、拆项、配方法。
例 10、分解因式（1） x 3 3x 2 4 解法 1——拆项。
原式= x 3 1 3x 2 3
解法 2——添项。
原式= x 3 3x 2 4 x 4 x 4
= x( x 2 3x 4) (4 x 4)
= x( x 1)( x 4) 4( x 1) = ( x 1)( x 2 4 x 4)
= ( x 1)( x 2) 2
=
( x 1)( x 2 x 1) 3( x 1)( x 1)
= ( x 1)( x 2 x 1 3x 3) = ( x 1)( x 2 4 x 4)
= ( x 1)( x 2) 2
（2） x 9 x 6 x 3 3
解：原式= ( x 9 1) ( x 6 1) ( x 3 1)
= ( x 3 1)( x 6 x 3 1) ( x 3 1)( x 3 1) ( x 3 1) = ( x 3 1)( x 6 x 3 1 x 3 1 1)
= ( x 1)( x 2 x 1)( x 6 2 x 3 3)
练习 15、分解因式 （1） x 3 9 x 8 （3） x 4 7 x 2 1
（2） ( x 1) 4 ( x 2 1) 2 ( x 1) 4 （4） x 4 x 2 2ax 1 a 2
（6） 2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4
（5） x 4 y 4 ( x y) 4
七、待定系数法。
例 11、分解因式 x 2 xy 6 y 2 x 13 y 6
分析：原式的前 3 项 x 2 xy 6 y 2 可以分为 ( x 3 y)( x 2 y) ，则原多项式必定可分为
( x 3 y m)( x 2 y n)
解：设 x 2 xy 6 y 2 x 13 y 6 = ( x 3 y m)( x 2 y n)
∵ ( x 3 y m)( x 2 y n) = x 2 xy 6 y 2 (m n) x (3n 2m) y mn ∴ x 2 xy 6 y 2 x 13 y 6 = x 2 xy 6 y 2 (m n) x (3n 2m) y mn
m n 1
m 2
对比左右两边相同项的系数可得 3n 2m 13 ，解得
mn 6 n 3
∴原式= ( x 3 y 2)( x 2 y 3)
例 12、（1）当 m 为何值时，多项式 x 2 y 2 mx 5 y 6 能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果 x 3 ax 2 bx 8 有两个因式为 x 1 和 x 2 ，求 a b 的值。
（ 1 ） 分 析 ： 前 两 项 可 以 分 解 为 ( x y)( x y) ， 故 此 多 项 式 分 解 的 形 式 必 为
( x y a)( x y b)
解：设 x 2 y 2 mx 5 y 6 = ( x y a)( x y b)
则 x 2 y 2 mx 5 y 6 = x 2 y 2 (a b) x (b a) y ab
a b m a 2 a 2 b b
a53b比较对应的系数可得： ，解得：或 3 ab 6 m 1 m 1
∴当 m 1时，原多项式可以分解；
当 m 1时，原式= ( x y 2)( x y 3) ； 当 m 1时，原式= ( x y 2)( x y 3)
（2）分析： x 3 ax 2 bx 8 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因
式必为形如 x c 的一次二项式。
解：设 x 3 ax 2 bx 8 = ( x 1)( x 2)( x c)
则 x 3 ax 2 bx 8 = x 3 (3 c) x 2 (2 3c) x 2c
a 3 c a 7 b b
23c∴ 解得 14 ， 2c 8 c 4 ∴ a b =21
练习 17、（1）分解因式 x 2 3xy 10 y 2 x 9 y 2
（2）分解因式 x 2 3xy 2 y 2 5x 7 y 6
（3） 已知：x 2 2 xy 3 y 2 6 x 14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p 并
且分解因式。 （4） k 为何值时， x 2 2 xy ky 2 3x 5 y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并
分解此多项式。
第四部分：习题大全
第 1 课时 多项式的因式分解(1)
【基础巩固】
1．(2012．济宁)下列式子变形是因式分解的是 ( )
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D ．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 2．多项式－5mx3＋25mx2－10mx 各项的公因式是 ( )
A．5mx2 B．－5mx3 C ．mx D．－5mx 3．(1)单项式－12x8y2 与 8x6y5 的公因式是_______；
(2)－x2y(x＋y)3＋x(x＋y)2 的公因式是_______．
4．若 x2＋ax＋b＝(x＋5)(x－2)，则 a＝_______，b＝_______． 5．(2012．苏州)若 a＝2，a＋b＝3，则 a2＋ab＝_______． 6．分解因式：
(1)(2012．成都)x2－5x； (2)－20a＋5a2－15ab； (3)(2012．广东)2x2－10x； (4)4a(m－n)2－6b(m－n)2； (5)(2m＋n)(x－y)－(2m＋n)(x＋y)； (6)15(a－b)2－3y(b－a)． 【拓展提优】
7．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( ) A．a2－9＋6a＝(a＋3)(a－3)＋6a B．(a＋5)(a－2)＝a2＋3a－10 C．a2－8a＋16＝(a－4)2 D．6ab＝2a·3b 8．(2012．温州)把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是 ( ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
4
9．代数式 3x2－4x＋6 的值为 9，则 x2－ x＋6 的值为 ( )
3
A．7 B．18 C．12 D．9 10．把多项式－16a3＋40a2b 提出一个公因式－8a2 后，另一个因式是_______． 11．(2012．成都)已知当 x＝1 时，2ax2＋bx 的值为 3，则当 x＝2 时，ax2＋bx 的值为_______． 12．分解因式：
(1)18a3bc－45a2b2c2＋36a2b2； (2)－12x3＋12x2y－3xy2； (3)14x(x－y)－21y(y－x)； (4)(x＋y)2＋mx＋my； (5)a(x－a)(x＋y)2－b(a－x)2(y＋x)．
13．利用因式分解计算：
(1)2.39×91+156×2.39－2.39×47； (2)39×37－13×81．
14．如图，有足够多的边长为a 的大正方形、长为 a 宽为 b 的长方形以及边长为 b 的小正方 形．
(1)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(a＋b)(a＋2b)，画 出图形，并根据图形回答(a＋b)(a＋2b)＝_______；
(2)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为 a2＋5ab＋4b2． ①需要 A 类卡片_______．张、B 类卡片_______张、C 类卡片_______张； ②可将多项式 a2＋5ab＋4b2 分解因式为______________．
第 2 课时 多项式的因式分解(2)
【基础巩固】
1．(2012．衡阳)下列运算正确的是 ( ) A．3a＋2a＝5a2 B．(2a)3＝6a3 C．(x＋1)2＝x2＋1 D．x2－4＝(x＋2)(x－2) 2．已知多项式 9a2－(b－c)2 的一个因式为 3a＋b－c，则另一个因式是 ( A．3a＋b＋c B．3a－b－c C．3a－b＋c D．3a＋b－c 3．分解因式：(1)(2012．台州)m2－1＝_______； (2)(2012．盐城)a2－4b2＝_______．
4．如果 a＋b＝－1，a－b＝5，那么 a2－b2＝_______．
5．写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：_______． 6．分解因式： 92
2(1)4a－ y； (2)x2y4－49；
25
(3)4a2－(3b－c)2； (4)(x＋y)2－4x2； (5)(4x－3y)2－25y2； (6)25(a＋b)2－4(a－b)2． 【拓展提优】
7．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是 ( ) A．－x2＋16 B．x2＋9 C．－x2－4 D．x2－2y2
1 1
228．(2012．云南)若 a－b＝ ，a－b＝ ．则 a＋b 的值为 ( )
4 2
1 1
A．－ B． C．1 D．2
2 2
9．如图中的图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩 形，如图②，这一过程可以验证 ( ) A．a2＋b2－2ab＝(a－b)2 B．a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．2a2－3ab＋b2＝(2a－b)(a－b) D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
)
10．分解因式：(1)(2012．湖州)x2－36＝_______；(2)－25a2＋16b2＝_______． 11．若 a－b＝3，则 a2－b2－6b＝_______． 12．分解因式：
(1)9x2－(2x－y)2； (2)(2x＋y)2－(x－2y)2 (3) 9(a＋b)2－16(a－b)2； (4) 9(3a＋2b)2－25(a－2b)2．
13．分解因式：
(1)x4－16； (2)(a＋b)4－(a－b)4．
14．利用因式分解计算：
201122(1)49－51； (2) ．
20122 20102
11 11 11 11 11(3) ． 2 2 2
22 3 4 9 102
第 3 课时 多项式的因式分解(3)
【基础巩固】
1．(2012．安徽)下面的多项式中，能因式分解的是 ( ) A．m2＋n B．m2－m＋1 C．m2－n D．m2－2m＋1 2．若 x2－mx＋9 是完全平方式，则 m 的值是 ( ) A．3 B．6 C．±3 D．±6 3．分解因式：(1)(2012．淮安)a2＋2a＋1＝_______； (2)(2012．泰州)a2－6a＋9＝_______．
4．(1)a2＋_______＋16b2＝(a－4b)2；(2)x2＋10xy＋_______＝(x＋_______)2． 5．已知：a－b＝3，ab＝－2，则 a2－3ab＋b2＝_______． 6．分解因式： 12 (1)4x2－12xy＋9yx； (3) x＋5x＋25；
4
(3)a2b4－8ab2c＋16c2； (4)(a－b)2＋4(a－b)＋4； (5)(x－3)2＋8(x－3)＋16； (6)－x2－4y2＋4xy． 【拓展提优】
7．(2012．无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1 的结果是 A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 8．当 a(a－1)－(a2－b)＝2 时，则
( )
D．(x－2)2 (
)
a2 b2
2
ab 的值为
A．－2 B．2 C．4 D．－4 9．已知 a、b、c 是三角形的三边，那么代数式 a2－2ab＋b2－c2 的值 ( ) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定 10．(2012．凉山)整式 A 与 m2－2mn＋n2 的和是(m＋n)2，则 A＝_______．
11． (2012．泰州)若代数式 x2＋3x＋2 可以表示为(x－1)2＋a(x－1)＋b 的形式，则 a＋b 的 值是_______．
12．判断下列各式能否写成一个整式平方的形式(“√”表示能，“×”表示不能)：
1
2222(1)4a＋4a－1( ) (2)a＋3ab＋9b( ) (3)a－a＋ ( )
2
(4)－4x＋1＋4x2( ) (5)16x2＋1( ) (6)－x2＋4x－4( )
13．分解因式：
9
(1)x2－3x＋ ； (2)(x2－2)2＋6(2－x2)＋9；
4
(3)－x2＋8xy2－16y4； (4)9(x－y)2－12(x＋y)(x－y)＋4(x＋y)2．
14．(1)利用因式分解计算：
①3.72－2×3.7×2.7+2.72； ②20052－2005×10+25； (2)已知 2y－3x＝5，求多项式 9x2－12xy＋4y2 的值．
第 4 课时 多项式的因式分解(4)
【基础巩固】
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是 ( ) A．a2－2ab－b2 B．a2－2ab＋4b2 C．－a2＋9 D．a2＋ab＋b2 2．(2012．呼和浩特)下列各因式分解正确的是 ( ) A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1)2 C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2) 3．(1)多项式 2ax2－12axy 中，应提取的公因式是_______；
(2)两个多项式 x2－4，x2－4x＋4 的公因式是_______． 4．分解因式：(1)x3－4x＝_______；
(2)a2b－2ab＋b＝_______．
5．若多项式 9a2－12ab＋k 是完全平方式，则 k＝_______． 6．分解因式：
(1)(a－2b)2－25b2； (2)(2012．丽水)2x2－8； (3)9a2(x－y)＋(y－x)； (4)(2012．临沂)a－6ab＋9ab2； (5)(x2＋4)2－16x2； (6)x4－8x2＋16． 【拓展提优】
7．(2012．恩施)a4b－6a3b＋9a2b 分解因式的正确结果是 ( ) A．a2b(a2－6a＋9) B．a2b(a＋3)(a－3) C．b(a2－3)2 D．a2b(a－3)2 8．(2012．凉山)下列多项式能分解因式的是 ( ) A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2 9．已知 x＋y＝0，xy＝－3，则 x3y＋xy3 的值是 ( ) A．0 B．15 C．－18 D．－24 10．利用因式分解计算：832＋83×34＋172＝_______．
11．若 a 3 ＋b2－6b＋9＝0，则 a＝_______，b＝_______． 12．分解因式：
(1)16x4－1； (2)(a2＋1)2－4a(a2＋1)＋4a2； (3)(2012．黄冈)x3－9x； (4)(2012．宜宾)3m2－6mn＋3n2； (5)(a2＋b2)2－4a2b2； (6)(x2－5)2＋8(x2－5)＋16．
12112
2＋2a－1， a ＋4a＋1， a－ 2a．请选择两个你喜欢的多项式 13．给出三个多项式： a 2 2 2
进行相加，并把所得的结果因式分解．
14．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4 进行因式分解的过程．
解：设 x2－4x＝y
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16 (第二步) ＝(y＋4)2 (第三步) ＝(x2－4x＋4)2 (第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了_______进行因式分解的； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？_______ (填“彻底”或“不彻底”)；若不彻底，
请直接写出因式分解的最后结果_______；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1 进行因式分解．
第 5 课时 多项式的因式分解(5)
十字相乘法因式分解练习题
1、 x 2 3x 2
2、 x 2 7 x 6
4、 x 2 2 x 15
3、 x 2 4 x 21 5、 x 4 6 x 2 8 7、 x 2 3xy 2 y 2 9、 x 2 4 x 3 11、 y 2 7 y 12 13、 x 2 x 20 15、 p 2 5 p 36 17、 x 4 x 2 20 19、 a 2 9ab 14b 2 21、 x 2 y 2 5x 2 y 6 x 2 23、 3x 2 11x 10
6、 (a b) 2 4(a b) 3
8、 x 4 3x 3 28x 2
10、 a 2 7a 10
12、 q 2 6q 8
14、 m 2 7m 18 16、 t 2 2t 8 18、 a 2 x 2 7ax 8 20、 x 2 11xy 18 y 2 22、 a 3 4a 2 12a
24、 2 x 2 7 x 3
26、 5 x 2 6 xy 8 y 2
25、 6 x 2 7 x 5 27、 2 x 2 15x 7 29、 5x 2 7 x 6
31、 3a 2b 2 17abxy 10 x 2 y 2
28、 3a 2 8a 4 30、 5a 2b 2 23ab 10 32、 4 x 4 y 2 5 x 2 y 2 9 y 2
33、 4n 2 4n 15
34、 6l 2 l 35
35、10 x 2 21xy 2 y 2
36、 8m 2 22mn 15n 2
38、 ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24
37、 ( x 2 5x 3)( x 2 5 x 2) 6
答案：1、 ( x 1)( x 2) 2、 ( x 1)( x 6) 3、 ( x 3)( x 7) 4、 ( x 3)( x 5) 5、 ( x 2 4)( x 2 2) 6、 (a b 1)(a b 3) 7、 ( x y)( x 2 y)
8、 x 2 ( x 4)( x 7) 9、 ( x 1)( x 3) 10、 (a 2)(a 5) 11、 ( y 3)( y 4) 12、 (q 2)(q 4) 13、 ( x 4)( x 5) 14、 (m 2)(m 9) 15、 ( p 4)( p 9) 16、 (t 2)(t 4) 17、 ( x 2 4)( x 2 5) 18、 (ax 1)(ax 8) 19、 (a 2b)(a 7b)
20、 ( x 2 y)( x 9 y) 21、 x 2 ( y 1)( y 6) 22、 a(a 2)(a 6) 23、 ( x 2)(3x 5) 24、 ( x 3)(2 x 1) 25、 (2 x 1)(3x 5) 26、 ( x 2 y)(5x 4 y) 27、 (2 x 1)( x 7) 28、 (a 2)(3a 2)
29、 ( x 2)(5x 3) 30、 (5ab 2)(ab 5) 31、 (3ab 2 xy)(ab 5xy)
32、 y 2 ( x 2 1)(2 x 3)(2 x 3) 33、 (2m 3n)(2m 5n) 34、 (2l 5)(3l 7) 35、 (10 x y)( x 2 y) 36、 (2m 3n)(4m 5n)
37、 ( x 1)( x 4)( x 2 5x 3) 38、 ( x 3)( x 2)( x 2 x 8)
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容